Question

【題目】拋物線y＝x2﹣3mx+2m+1與x軸正半軸交于A，B兩點（A在B的左側），與y軸正半軸交于點C，且OA＝OC．

（1）拋物線的解析式為　 　（直接寫出結果）；

（2）如圖1，D為y軸上一點，過點D的直線y＝x+n交拋物線于E，F，若EF＝5，求點D的坐標；

（3）將△AOC繞平面內某點逆時針旋轉90°至△A'O'C'（點A，C，O的對應點分別為A'，C'，O'），若旋轉后的△A'O'C'恰好有一邊的兩個端點落在拋物線上，請求出點A'的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣x+2；（2）點D的坐標為：（0，）；（3） 點A′的坐標為：（6，2）或（4，2）．

【解析】

（1）點C（0，2m+1），OA＝OC，則點A（2m+1），將點A的坐標代入拋物線的表達式，即可求解；

（2）聯立①與直線EF的表達式并整理得：x2﹣8x+8﹣4n＝0，則a+b＝8，ab＝8﹣4n，設直線EF的傾斜角為α，則tan，則cosα＝，則b﹣a＝＝2，即可求解；

（3）分A′C′在拋物線上、O′C′在拋物線上兩種情況，分別求解即可．

解：（1）點C（0，2m+1），OA＝OC，則點A（2m+1，0)

將點A的坐標代入拋物線的表達式并解得：m＝，

故拋物線的表達式為：y＝（x2﹣6x+8）＝x2﹣x+2…①，

故答案為：y＝x2﹣x+2；

（2）由拋物線的表達式知，點A、C的坐標分別為：（2，0）、（0，2），

則點D（0，n），設點E、F的縱坐標為：a，b，

聯立①與直線EF的表達式并整理得：x2﹣8x+8﹣4n＝0，

則a+b＝8，ab＝8﹣4n，

設直線EF的傾斜角為α，則tan，則cosα＝，

則b﹣a＝＝2，

（b﹣a）2＝（a+b）2﹣4ab＝64﹣4（8﹣4n）＝（2）2，解得：n＝，

故點D的坐標為：（0，）；

（3）將△AOC繞平面內某點逆時針旋轉90°至△A'O'C'（點A，C，O的對應點分別為A'，C'，O'），

若旋轉后的△A'O'C'恰好有一邊的兩個端點落在拋物線上，如圖所示，

①當A′C′在拋物線上時（左側圖），

設點A′（x，y），則點C′（x﹣2，y﹣2），

將點A′、C′的坐標代入拋物線表達式得：

y＝（x2﹣6x+8），y﹣2＝ [（x﹣2）2﹣6（x﹣2）+8）]，

解得：x＝6，y＝2，故點A′（6，2）；

①當O′C′在拋物線上時（右側圖），A與C’重合，

由圖象及旋轉可得：OC=AB=2,OA=A’B=2

∴點A′（4，2）；

綜上，點A′的坐標為：（6，2）或（4，2）．