Question

【題目】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，D是邊AB上一點，以BD為直徑的⊙O經過點E，且交BC于點F

(1)求證：AC是⊙O的切線；

(2)若CF＝2，CE＝4，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）⊙O的半徑為5．

【解析】

（1）根據角平分線的定義和同圓的半徑相等可得：OE∥BC，所以∠OEA＝90°，則AC是⊙O的切線；
（2）過點O作OH⊥BF交BF于H，先求OH和BH的長，再根據勾股定理求OB的長．

（1）證明：連接OE．

∵OE＝OB，

∴∠OBE＝∠OEB，

∵BE平分∠ABC，

∴∠OBE＝∠EBC，

∴∠EBC＝∠OEB，

∴OE∥BC，

∴∠OEA＝∠C，

∵∠ACB＝90°，

∴∠OEA＝90°，

∴AC是⊙O的切線；

（2）解：設⊙O的半徑為r．

過點O作OH⊥BF交BF于H，

由題意可知四邊形OECH為矩形，

∴OH＝CE＝4，CH＝OE＝r，

∴BH＝FH＝CH－CF＝r－2，

在Rt△BHO中，∵OH2+BH2＝OB2，

∴42+（r－2）2＝r2，

解得r＝5．

∴⊙O的半徑為5．