Question

在矩形ABCD中，，點G，H分別在邊AB，DC上，且HA=HG，點E為AB邊上的一個動點，連接HE，把△AHE沿直線HE翻折得到△FHE．
（1）如圖1，當DH=DA時，
①填空：∠HGA=       度；
②若EF∥HG，求∠AHE的度數，并求此時a的最小值；
（2）如圖3，∠AEH=60°，EG=2BG，連接FG，交邊FG，交邊DC于點P，且FG⊥AB，G為垂足，求a的值．

Answer 1

（1）①45；②當∠AHE為銳角時，∠AHE=22.5°時，a的最小值是２；當∠AHE為鈍角時，∠AHE=112.5°時，a的最小值是；（2）.

試題分析：（1）①根據矩形的性質和已知條件得出∠HAE=45°，再根據HA=HG，得出∠HAE=∠HGA，從而得出答案解決：
∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADH=90°．
∵DH=DA，∴∠DAH=∠DHA=45°．∴∠HAE=45°．
∵HA=HG，∴∠HAE=∠HGA=45°
②分∠AHE為銳角和鈍角兩種情況討論即可.
（2）過點H作HQ⊥AB于Q，根據矩形的性質得出∠D=∠DAQ=∠AQH=90°，得出四邊形DAQH為矩形，設AD=x，GB=y，則HQ=x，EG=2y，由折疊的性質可知∠AEH=∠FEH=60°，得出∠FEG=60°，在Rt△EFG中，根據特殊角的三角函數值求出EG和EQ的值，再由折疊的性質得出AE=EF，求出y關于x的表達式，從而求出AB=2AQ+GB，即可根據比值消去參數x得出a的值．
試題解析：解：（1）①45．
②分兩種情況討論：
第一種情況：如答圖１，∠AHE為銳角時，
∵∠HAG=∠HGA=45°，∴∠AHG=90°．
由折疊可知：∠HAE=∠F=45°，∠AHE=∠FHE，
∵EF∥HG，∴∠FHG=∠F=45°．
∴∠AHF=∠AHG∠FHG=45°，即∠AHE+∠FHE=45°．
∴∠AHE=22.5°．
此時，當B與G重合時，a的值最小，最小值是2．

第二種情況：如答圖２，∠AHE為鈍角時，
∵EF∥HG，∴∠HGA=∠FEA=45°，即∠AEH+∠FEH=45°．
由折疊可知：∠AEH=∠FEH，∴∠AEH=∠FEH=22.5°．
∵EF∥HG，∴∠GHE=∠FEH=22.5°．
∴∠AHE=90°+22.5°=112.5°．
此時，當B與E重合時，a的值最小，
設DH=DA=x，則AH=CH=x，
在Rt△AHG中，∠AHG=90°，由勾股定理得：AG=AH=2x，
∵∠AEH=∠FEH，∠GHE=∠FEH，∴∠AEH=∠GHE．∴GH=GE=x．
∴AB=AE=2x+x．
∴a的最小值是．
綜上所述，當∠AHE為銳角時，∠AHE=22.5°時，a的最小值是２；當∠AHE為鈍角時，∠AHE=112.5°時，a的最小值是．

（2）如答圖３：過點H作HQ⊥AB于Q，則∠AQH=∠GOH=90°，
在矩形ABCD中，∠D=∠DAQ=90°，
∴∠D=∠DAQ=∠AQH=90°．
∴四邊形DAQH為矩形．∴AD=HQ．
設AD=x，GB=y，則HQ=x，EG=2y，
由折疊可知：∠AEH=∠FEH=60°，∴∠FEG=60°．
在Rt△EFG中，EG=EF×cos60°＝4y×，
在Rt△HQE中，，
∴．
∵HA=HG，HQ⊥AB，∴AQ=GQ=．
∴AE=AQ+QE=．
由折疊可知：AE=EF，即，即．
∴AB=2AQ+GB=．
∴．