Question

如圖1，若分別以△ABC的AC、BC兩邊為邊向外側作的四邊形ACDE和BCFG為正方形，則稱這兩個正方形為外展雙葉正方形．
（1）發現：如圖2，當∠C=90°時，求證：△ABC與△DCF的面積相等．
（2）引申：如果∠C90°時，（1）中結論還成立嗎？若成立，請結合圖1給出證明；若不成立，請說明理由；
（3）運用：如圖3，分別以△ABC的三邊為邊向外側作的四邊形ACDE、BCFG和ABMN為正方形，則稱這三個正方形為外展三葉正方形．已知△ABC中，AC=3，BC=4．當∠C=_____度時，圖中陰影部分的面積和有最大值是________．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）成立，證明見解析；（3）18.

試題分析：（1）因為AC=DC，∠ACB=∠DCF=90°，BC=FC，所以△ABC≌△DFC，從而△ABC與△DFC的面積相等；
（2）延長BC到點P，過點A作AP⊥BP于點P；過點D作DQ⊥FC于點Q．得到四邊形ACDE，BCFG均為正方形，AC=CD，BC=CF，∠ACP=∠DCQ．所以△APC≌△DQC．于是AP=DQ．又因為S_△ABC=BC•AP，S_△DFC=FC•DQ，所以S_△ABC=S_△DFC；
（3）根據（2）得圖中陰影部分的面積和是△ABC的面積三倍，若圖中陰影部分的面積和有最大值，則三角形ABC的面積最大，當△ABC是直角三角形，即∠C是90度時，陰影部分的面積和最大．所以S_{陰影部分面積和}=3S_△ABC=3××3×4=18．
試題解析：（1）證明：在△ABC與△DFC中，
∵，
∴△ABC≌△DFC．
∴△ABC與△DFC的面積相等；
（2）解：成立．理由如下：
如圖，延長BC到點P，過點A作AP⊥BP于點P；過點D作DQ⊥FC于點Q．
∴∠APC=∠DQC=90°．

∵四邊形ACDE，BCFG均為正方形，
∴AC=CD，BC=CF，∠ACP+∠PCD=90°，∠DCQ+∠PCD=90°，
∴∠ACP=∠DCQ．
∴，
△APC≌△DQC（AAS），
∴AP=DQ．
又∵S_△ABC=BC•AP，S_△DFC=FC•DQ，
∴S_△ABC=S_△DFC；    
（3）解：根據（2）得圖中陰影部分的面積和是△ABC的面積三倍，
若圖中陰影部分的面積和有最大值，則三角形ABC的面積最大，
∴當△ABC是直角三角形，即∠C是90度時，陰影部分的面積和最大．
∴S_{陰影部分面積和}=3S_△ABC=3××3×4=18．