Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，∠C=60°，M、N分別是AD、BC的中點，BC=2CD．
（1）求證：四邊形MNCD是平行四邊形；
（2）求證：BD=MN．

Answer 1

（1）見解析  （2）見解析

試題分析：（1）根據平行四邊形的性質，可得AD與BC的關系，根據MD與NC的關系，可得證明結論；
（2）根據根據等邊三角形的判定與性質，可得∠DNC的度數，根據三角形外角的性質，可得∠DBC的度數，根據正切函數，可得答案．
解答：證明：（1）∵ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵M、N分別是AD、BC的中點，
∴MD=NC，MD∥NC，
∴MNCD是平行四邊形；
（2）如圖：連接ND，

∵MNCD是平行四邊形，
∴MN=DC．
∵N是BC的中點，
∴BN=CN，
∵BC=2CD，∠C=60°，
∴△NVD是等邊三角形．
∴ND=NC，∠DNC=60°．
∵∠DNC是△BND的外角，
∴∠NBD+∠NDB=∠DNC，
∵DN=NC=NB，
∴∠DBN=∠BDN=∠DNC=30°，
∴∠BDC=90°．
∵tan，
∴DB=DC=MN．