Question

【題目】如圖，已知二次函數圖象的頂點坐標為，與坐標軸交于、、三點，且點的坐標為.

（1）求二次函數的解析式；

（2）在二次函數圖象位于軸上方部分有兩個動點、，且點在點的左側，過、作軸的垂線交軸于點、兩點，當四邊形為矩形時，求該矩形周長的最大值；

（3）在（2）中的矩形周長最大時，連接，已知點是軸上一動點，過點作軸，交直線于點，是否存在這樣的點，使直線把分成面積為的兩部分；若存在，求出該點的坐標；若不存在，請說明理由.

備用圖

Answer 1

【答案】（1）；（2）20；（3）存在；點的坐標為或

【解析】

（1）二次函數表達式為：，將點B的坐標代入上式，即可求解；

（2）設點的坐標為，則的坐標為,的坐標為,從而求得;，所以矩形MNHG的周長，即可求解；

（3）當矩形周長取得最大值時，，從而求出的值，然后求出直線的解析式，設點坐標為，分當的面積是面積的時；當的面積是面積的時兩種情況分別列出方程，求出點P的坐標．

解：（1）設二次函數的解析式為

二次函數圖像的頂點坐標為

又圖象經過點

解得：

二次函數的解析式為

（2）四邊形為矩形，

關于直線對稱

設點的坐標為，則的坐標為

的坐標為

;

矩形的周長

當時，

矩形周長的最大值為20.

（3）存在，理由如下：

當矩形周長取得最大值時，

，對稱軸為直線

設直線的解析式為

將代入上式得：

，解得

設點坐標為

①當的面積是面積的時，

解得：；（舍去）

②當的面積是面積的時，

解得：；（舍去）

綜上所述，點的坐標為或