Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，拋物線M：y＝ax2+bx+c（a≠0）經過A（﹣1，0），且頂點坐標為B（0，1）．

（1）求拋物線M的函數表達式；

（2）設F（t，0）為x軸正半軸上一點，將拋物線M繞點F旋轉180°得到拋物線M1．

①拋物線M1的頂點B1的坐標為　 　；

②當拋物線M1與線段AB有公共點時，結合函數的圖象，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) y=-x2+1;(2)①(2t,-1);②0<t≤.

【解析】

(1)利用頂點式列出函數表達式，再將另一個點的坐標代入函數表達式列出一元一次方程，求出函數表達式.

(2)作出圖象，結合圖象思考.

解：(1)∵拋物線的頂點坐標為B(0,1)

∴設拋物線M的函數表達式為y=ax2+1

∵拋物線M經過點A(-1,0)

∴a×(-1)2+1=0，解得a=-1

∴拋物線M的函數表達為y=-x2+1

(2) ①由題意得，點F為BB1的中點

∵F(t,0),設B1的坐標為(m,n)

∴,

∴m=2t，n=-1

∴B1(2t,-1).

②由題意可知拋物線M1的頂點B1的坐標為(2t,-1)，二次項系數為1，

∴拋物線M1的函數表達式為：y=(x-2t)2-1(t>0),

當拋物線M1經過點A(-1,0)時(如下圖)：

∴(-1-2t)2-1=0,解得t1=-1,t2=0；

當拋物線M1經過點B(0,1)時(如上圖)：

∴(0-2t)2-1=1,解得t=.

結合圖象分析，因為t>0，所以當拋物線M1與線段AB有公共點時，t的取值范圍是0<t≤.

故答案為：(1) y=-x2+1;(2)①(2t,-1);②0<t≤.