Question

【題目】如圖1，點A，B分別是二次函數y=2x2的圖象上的兩個點，A、B的橫坐標分別為a，b（a＜0，b＞0），點P（0，t）是拋物線對稱軸上的任意一點．

（1）當a+b=0時，探究是否存在t，使得△PAB是以AB為底的等腰三角形？若存在，請直接寫出t、a、b的其中一組值；若不存在，請說明理由；
（2）當a+b≠0時，探究是否存在t，使得△PAB是以AB為底的等腰三角形？若存在，請寫出t的取值范圍，并用含t的代數式表示a2+b2的值；若不存在，請說明理由；
（3）如圖2作邊長為4的正方形ACDE（A、C、D、E按逆時針排列），使得AC∥x軸，若邊CD與二次函數的圖象總有交點，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當 a+b=0時，

∴PA=PB∴只需滿足t≠2a2即可

∴a=﹣1，b=1，t=3

（2）

解：∵A（a，2a2），B（b，2b2），P（0，t）

∵PA=PB，

∴a2+（t﹣2a2）2=b2+（t﹣2b2）2

∴a2﹣b2+（t﹣2a2）2﹣（t﹣2b2）2=0，

（a2﹣b2）[1﹣4（t﹣a2﹣b2）]=0，

∵a2﹣b2≠0

∴1﹣4（t﹣a2﹣b2）=0

∴a2+b2=t﹣ ，

∴t﹣ ＞0，

∴t＞

（3）

解：A（a，2a2），

∴C（a+4，2a2） D（a+4，2a2+4），

設邊CD與二次函數圖象交點為F（a+4，2（a+4）2）

由題意可得：

∴

∴

【解析】（1）利用等腰三角形的性質即可；（2）表示出點的坐標，利用PA=PB建立方程求解即可；（3）聯立方程組求解函數圖象的交點坐標．
【考點精析】通過靈活運用二次函數的圖象和二次函數的性質，掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小即可以解答此題．