Question

【題目】如圖，等邊三角形ABC中，點D、E、F、分別為邊AB，AC，BC的中點，M為直線BC動點，△DMN為等邊三角形

（1）如圖1，當點M在點B左側時，請你判斷EN與MF有怎樣的數量關系？
（2）如圖2，當點M在BC上時，其它條件不變，（1）的結論中EN與MF的數量關系是否仍然成立？若成立，請利用圖2證明；若不成立請說明理由；
（3）若點M在點C右側時，請你在圖3中畫出相應的圖形，并判斷（1）的結論是否仍然成立？若成立，請直接寫出結論，若不成立請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：EN與MF相等，

證明：連接DE、DF，

∵△ABC和△DMN為等邊三角形，

∴DM=DN，∠MDN=60°，

∵點D、E、F、分別為邊AB，AC，BC的中點，

∴△DEF是等邊三角形，

∴∠MDF=∠NDE，

在△DMF和△DNE中，

，

∴△DMF≌△DNE，

∴EN=MF；

（2）

解：成立，

證明：連結DE，DF，EF．

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC=BC．

∵D，E，F是三邊的中點，

∴DE，DF，EF為三角形的中位線．

∴DE=DF=EF，∠FDE=60°．

又∠MDF+∠FDN=60°，∠NDE+∠FDN=60°，

∴∠MDF=∠NDE．

在△DMF和△DNE中，

，

∴△DMF≌△DNE，

∴MF=NE；

（3）

解：畫出圖形如圖③所示：

MF與EN相等的結論仍然成立．

由（2）得，△DMF≌△DNE，

∴MF=NE．

【解析】（1）連接DE、DF，根據等邊三角形的性質得到∠MDF=∠NDE，證明△DMF≌△DNE，根據全等三角形的性質證明；（2）與（1）的方法相同；（3）根據題意畫出圖形，證明△DMF≌△DNE，根據全等三角形的性質證明．
【考點精析】利用全等三角形的性質和等邊三角形的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知全等三角形的對應邊相等; 全等三角形的對應角相等；等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°．