Question

【題目】如圖，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜邊BC的中點，E、F分別是AB、AC邊上的點，且AE+AF=AB，

(1)求證：DE⊥DF；

(2)若AC=2，求四邊形DEAF的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）1

【解析】

（1）連接AD，根據等腰直角三角形的性質可得AD=CD，AD⊥BC，∠C=∠B=∠BAD=∠DAC=45°，根據AE+AF=AB，AF+FC=AC可得AE=FC，利用“SAS”證明△DEA≌△DFC，得到∠EDA=∠FDC，利用等量代換即可證得∠EDF=90°，即可得證；

（2）根據全等可知S四邊形DEAF=S△ADC，利用勾股定理可求得AD、DC的長，再求△ADC的面積即可完成.

（1）如圖，

證明：連接AD

∵△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜邊BC的中點，

∴AD=CD，AD⊥BC，∠C=∠B=∠BAD=∠DAC=45°

∵AE+AF=AB，AF+FC=AC

∴AE=FC

在△DEA和△DFC中

∴△DEA≌△DFC（SAS）

∴∠EDA=∠FDC

∵∠FDC+∠ADF=90°

∴∠EDA+∠ADF=90°

即∠EDF=90°

∴DE⊥DF

（2）

解：∵△DEA≌△DFC

∴S四邊形DEAF=S△ADC

由勾股定理得：

∴

S四邊形DEAF=S△ADC