Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝16cm，AB＝12cm，BC＝21cm，動點P從點B出發，沿射線BC的方向以每秒2cm的速度運動，動點Q從點A出發，在線段AD上以每秒1cm的速度向點D運動，點P，Q分別從點B，A同時出發，當點Q運動到點D時，點P隨之停止運動，設運動的時間為t(秒)．
（1）當t為何值時，四邊形PQDC是平行四邊形．
（2）當t為何值時，以C，D，Q，P為頂點的梯形面積等于60cm²？
（3）是否存在點P，使△PQD是等腰三角形？若存在，請求出所有滿足要求的t的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）∵四邊形PQDC是平行四邊形

∴DQ=CP
∵DQ=AD－AQ=16－t，CP=21－2t
∴16－t=21－2t
解得 t="5"
當 t=5秒時，四邊形PQDC是平行四邊形
…………（4分）
（2）若點P，Q在BC，AD上時

        即

       解得t＝9（秒）  …………（2分）
若點P在BC延長線上時，則CP="2t-21,"
∴
解得 t＝15（秒）
∴當t＝9或15秒時，以C，D，Q，P為頂點的梯形面積等（2分）
（3）當PQ＝PD時
作PH⊥AD于H，則HQ=HD

∵QH=HD=QD=（16-t）
由AH=BP得 
解得秒  …………（2分）
當PQ=QD時  QH=AH－AQ=BP－AQ＝2t－t="t," QD=16-t
∵QD²= PQ²=12²+t²
∴（16--t）²=12²+t² 解得(秒) …………（2分）
當QD=PD時  DH="AD" -AH=AD-BP=16-2t
∵QD²=PD²=PH²+HD²=12²+(16-2t)²
∴(16-t)²=12²+(16-2t)²
即  3t²-32t+144=0
∵△＜0
∴方程無實根
綜上可知,當秒或(秒)時, △BPQ是等腰三角形……（2分）

（1）由題意已知，AD∥BC，要使四邊形PQDC是平行四邊形，則只需要讓QD=PC即可，因為Q、P點的速度
已知，AD、BC的長度已知，要求時間，用時間=路程÷速度，即可求出時間；
（2）要使以C、D、Q、P為頂點的梯形面積等于60cm²，可以分為兩種情況，即點P、Q在BC、AD，點P在
BC延長線上，再利用梯形面積公式，即（QD+PC）×AB÷2=60，因為Q、P點的速度已知，AD、AB、
BC的長度已知，用t可分別表示QD、BC的長，即可求得時間t；
（3）使△PQD是等腰三角形，可分三種情況，即PQ=PD、PQ=QD、QD=PD；可利用等腰三角形及直角梯形的
性質，分別用t表達等腰三角形的兩腰長，再利用兩腰相等即可求得時間t．