Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，規(guī)定：拋物線y=a（x﹣h）2+k的伴隨直線為y=a（x﹣h）+k．例如：拋物線y=2（x+1）2﹣3的伴隨直線為y=2（x+1）﹣3，即y=2x﹣1．
（1）在上面規(guī)定下，拋物線y=（x+1）2﹣4的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ， 伴隨直線為 ， 拋物線y=（x+1）2﹣4與其伴隨直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為和；
（2）如圖，頂點(diǎn)在第一象限的拋物線y=m（x﹣1）2﹣4m與其伴隨直線相交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），與x軸交于點(diǎn)C，D．
①若∠CAB=90°，求m的值；
②如果點(diǎn)P（x，y）是直線BC上方拋物線上的一個動點(diǎn)，△PBC的面積記為S，當(dāng)S取得最大值 時，求m的值．

Answer 1

【答案】
（1）（﹣1，﹣4）；y=x﹣3；（0，﹣3）；（﹣1，﹣4）
（2）

解：①∵拋物線解析式為y=m（x﹣1）2﹣4m，

∴其伴隨直線為y=m（x﹣1）﹣4m，即y=mx﹣5m，

聯(lián)立拋物線與伴隨直線的解析式可得 ，解得 或 ，

∴A（1，﹣4m），B（2，﹣3m），

在y=m（x﹣1）2﹣4m中，令y=0可解得x=﹣1或x=3，

∴C（﹣1，0），D（3，0），

∴AC2=4+16m2，AB2=1+m2，BC2=9+9m2，

∵∠CAB=90°，

∴AC2+AB2=BC2，即4+16m2+1+m2=9+9m2，解得m= （拋物線開口向下，舍去）或m=﹣ ，

∴當(dāng)∠CAB=90°時，m的值為﹣ ；

②設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，

∵B（2，﹣3m），C（﹣1，0），

∴ ，解得 ，

∴直線BC解析式為y=﹣mx﹣m，

過P作x軸的垂線交BC于點(diǎn)Q，如圖，

∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，

∴P（x，m（x﹣1）2﹣4m），Q（x，﹣mx﹣m），

∵P是直線BC上方拋物線上的一個動點(diǎn)，

∴PQ=m（x﹣1）2﹣4m+mx+m=m（x2﹣x﹣2）=m[（x﹣ ）2﹣ ]，

∴S△PBC= ×[（2﹣（﹣1）]PQ= （x﹣ ）2﹣ m，

∴當(dāng)x= 時，△PBC的面積有最大值﹣ m，

∴S取得最大值 時，即﹣ m= ，解得m=﹣2．

【解析】解：（1）∵y=（x+1）2﹣4，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣4），
由伴隨直線的定義可得其伴隨直線為y=（x+1）﹣4，即y=x﹣3，
聯(lián)立拋物線與伴隨直線的解析式可得 ，解得 或 ，
∴其交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣3）和（﹣1，﹣4），
所以答案是：（﹣1，﹣4）；y=x﹣3；（0，﹣3）；（﹣1，﹣4）；
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解確定一次函數(shù)的表達(dá)式的相關(guān)知識，掌握確定一個一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法，以及對二次函數(shù)的性質(zhì)的理解，了解增減性：當(dāng)a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．