Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+ x+c與x軸交于A，B兩點，與y軸交于丁C，且A（2，0），C（0，﹣4），直線l：y=﹣ x﹣4與x軸交于點D，點P是拋物線y=ax2+ x+c上的一動點，過點P作PE⊥x軸，垂足為E，交直線l于點F．

（1）試求該拋物線表達式；
（2）如圖（1），四邊形PCOF是平行四邊形，求P點的坐標；
（3）如圖（2），過點P作PH⊥y軸，垂足為H，連接AC．

①求證：△ACD是直角三角形；
②試問當P點橫坐標為何值時，使得以點P、C、H為頂點的三角形與△ACD相似？

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意得： ，解得： ，

∴拋物線的表達式為y= x2+ x﹣4．

（2）

解：設P（m， m2+ m﹣4），則F（m，﹣ m﹣4）．

∴PF=（﹣ m﹣4）﹣（ m2+ m﹣4）=﹣ m2﹣ m．

∵PE⊥x軸，

∴PF∥OC．

∴PF=OC時，四邊形PCOF是平行四邊形．

∴﹣ m2﹣ m=4，解得：m=﹣ 或m=﹣8．

當m=﹣ 時， m2+ m﹣4=﹣ ，

當m=﹣8時， m2+ m﹣4=﹣4．

∴點P的坐標為（﹣ ，﹣ ）或（﹣8，﹣4）．

（3）

解：①證明：把y=0代入y=﹣ x﹣4得：﹣ x﹣4=0，解得：x=﹣8．

∴D（﹣8，0）．

∴OD=8．

∵A（2，0），C（0，﹣4），

∴AD=2﹣（﹣8）=10．

由兩點間的距離公式可知：AC2=22+42=20，DC2=82+42=80，AD2=100，

∴AC2+CD2=AD2．

∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°．

②由①得∠ACD=90°．

當△ACD∽△CHP時， = ，即 = 或 = ，

解得：n=0（舍去）或n=﹣5.5或n=﹣10.5．

當△ACD∽△PHC時， = ，即 = 或即 = ．

解得：n=0（舍去）或n=2或n=﹣18．

綜上所述，點P的橫坐標為﹣5.5或﹣10.5或2或﹣18時，使得以點P、C、H為頂點的三角形與△ACD相似．

【解析】（1）將點A和點C的坐標代入拋物線的解析式可得到關于a、c的方程組，然后解方程組求得a、c的值即可；（2）設P（m， m2+ m﹣4），則F（m，﹣ m﹣4），則PF=﹣ m2﹣ m，當PF=OC時，四邊形PCOF是平行四邊形，然后依據PF=OC列方程求解即可；（3）①先求得點D的坐標，然后再求得AC、DC、AD的長，最后依據勾股定理的逆定理求解即可；②分為△ACD∽△CHP、△ACD∽△PHC兩種情況，然后依據相似三角形對應成比例列方程求解即可
【考點精析】根據題目的已知條件，利用相似三角形的應用的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握測高：測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達兩點間的舉例，常構造相似三角形求解．