Question

13．如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A、C的坐標分別為（2，0）、（0，3），拋物線y=-x²+bx+c經過B、C兩點，交x軸于點E和點F，動點P從點E出發，以每秒1個單位的速度沿E→O→C→B向點B運動，動點Q從點B出發，以相同的速度沿B→A→F運動，到點F后，繼續沿x軸正方向運動，當點P到達點B時點Q隨之停止運動．
（1）求拋物線所對應的函數關系式
（2）設點P的運動時間為t（秒），試探究是否存在這樣的t，使點P、Q所在的直線將矩形OABC分成面積相等的兩部分，若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由
（3）設拋物線的頂點為D，求出當△DPQ為等腰三角形時t的值
（4）直接寫出以P、Q、C、F為頂點的四邊形為軸對稱圖形或中心對稱圖形時t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數法即可解決問題．
（2）分四種情形討論①如圖當點P在OE上時，矩形的對角線AC與OB交于點H，則H（1，$\frac{3}{2}$）．求出直線PQ的解析式（用t表示），然后利用待定系數法解決．②當點P在線段OC上，點Q在線段AB上時，直線PQ不可能經過點H，此時不存在．③當點P在線段OC上，點Q在射線AF上時，方法類似①，④當點P在線段BC上時，顯然直線PQ不經過點H，此時不存在．
（3）分兩種情形①如圖3中，當DP=QD時，△DPQ是等腰三角形．②如圖3中，當PD=PQ時，△PQD是等腰三角形．分別列出方程即可解決．
（4）分兩種情形①如圖4中，當點Q與點A重合時，OP=OA，易知四邊形PCFQ是等腰梯形，是軸對稱圖形，②如圖5中，當點Q在線段BC上時，易知四邊形CPQF是平行四邊形，是中心對稱圖形，即可解決問題．

解答 解：（1）∵拋物線拋y=-x²+bx+c經過B、C兩點經過C（0，3），B（2，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{-4+2b+c=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3，

（2）①如圖當點P在OE上時，矩形的對角線AC與OB交于點H，則H（1，$\frac{3}{2}$）．

∵P（t-1，0），Q（2，3-t），
∴直線PQ的解析式為y=x+1-t，
當直線PQ經過點H時，直線PQ平分矩形ABCD的面積，
∴$\frac{3}{2}$=1+1-t，
∴t=$\frac{1}{2}$．
②當點P在線段OC上，點Q在線段AB上時，直線PQ不可能經過點H，此時不存在．
③當點P在線段OC上，點Q在射線AF上時，
∵P（0，t-1），Q（2+t-3，0），
∴直線PQ的解析式為y=-x+t-1，
當直線PQ經過點H時，直線PQ平分矩形ABCD的面積，
∴$\frac{3}{2}$=-1+t-1，
∴t=$\frac{7}{2}$，
④當點P在線段BC上時，顯然直線PQ不經過點H，此時不存在．
綜上所述，當t=$\frac{1}{2}$s或$\frac{7}{2}$s時，直線PQ平分矩形ABCD的面積．

（3）①如圖3中，當DP=QD時，△DPQ是等腰三角形．

根據對稱性可知，PC=BQ，
∴4-t=t，
∴t=2．
②如圖3中，當PD=PQ時，△PQD是等腰三角形．

∵D（1，4），P（0，t-1），Q（2，3-t），
∴1²+（t-5）²=2²+（4-t+3-t）²，
∴t=3．
綜上所述，t=2或3時，△DPQ是等腰三角形．

（4）①如圖4中，當點Q與點A重合時，OP=OA，易知四邊形PCFQ是等腰梯形，是軸對稱圖形，

當點Q在射線AF上時，OP=OQ=t-1，四邊形PCFQ是等腰梯形，
∴3≤t≤4時，四邊形PCQF是軸對稱圖形．

②如圖5中，當點Q在線段BC上時，易知四邊形CPQF是平行四邊形，是中心對稱圖形，

∴4＜t≤6時，四邊形CPQF是中心對稱圖形．
綜上所述，3≤t≤6時，以P、Q、C、F為頂點的四邊形為軸對稱圖形或中心對稱圖形．

點評 本題考查二次函數綜合題、一次函數的應用、矩形的性質、等腰三角形的判定和性質，軸對稱圖形、中心對稱圖形的性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識，學會用分類討論的思想思考問題，學會利用圖象解決問題，體現了數形結合的思想，屬于中考壓軸題．