Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸交于點，與軸交于點，點是的中點，繞點按順時針旋轉，且，的一邊交軸于點，開始時另一邊經過點，點坐標為，當旋轉過程中，射線與軸的交點由點到點的過程中，則經過點三點的圓的圓心所經過的路徑長為（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

此題屬于半角型題目.由題意得，圓心始終在線段BC的垂直平分線上，可證△BFC是直角三角形，所以一開始經過點三點的圓的圓心在BC的中點N.開始在BC的中點N處，當射線CD經過點G時，如圖，此時圓心是F′B的垂直平分線與BC的垂直平分線的交點I,在 旋轉過程中，射線與軸的交點由點到點的過程中，經過點三點的圓的圓心所經過的路徑長為線段NI的長.

如圖：旋轉到射線經過點時，表示為∠E′CD′，F′B的垂直平分線MI與BC的垂直平分線NI交于點I, MI與BN交于點 H′.

由題意得，A（4,0），B（0,4），AB的中點C（2,2），

∴∠COF=45°，又∵∠OCE=45°，∴∠CFO=90°，

過點C作CA′⊥x軸于點A′，即四邊形A′OFC是邊長為2的正方形.

在A′O上截取A′G′=FF′，易證Rt△CA′G′≌Rt△CFF′,

∴CF′=C G′,∠A′CG′=∠FCF′,即∠F′CG′=90°.

設A′G′=FF′=x，則O G′=2-x，F′H=H G′=x+1.

Rt△OHG′中，∵OH2+ O G′2= H G′2，即12+（2-x）2=(x+1)2,

解得：x= .

∴F′B=4-2-=.MB= F′B ==MH′，

在等腰直角三角形BM H′和等腰直角三角形 H′NI中，B H′= ，

∵BN=AB=×4=，

∴NI=H′N=BN-B H′=- =.

故選：A.