Question

【題目】如圖，已知點的坐標是，點的坐標是，以線段為直徑作⊙，交軸的正半軸于點，過、、三點作拋物線．

（1）求拋物線的解析式；

（2）連結，，點是延長線上一點，的角平分線交⊙于點，連結，在直線上找一點，使得的周長最小，并求出此時點的坐標；

（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在點，使得，若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）;（2）交點;（3）符合條件的點有兩個：，.

【解析】

(1)因為BC是直徑,所以∠BDC=90°,易證∽,由相似三角形的性質得：,解得OD的長,從而求出點D坐標.由，設交點式解析式,把點D坐標代入即可求出解析式.

（2）屬于最短路徑問題，要使的周長最小，因為CF的長是定值，所以只要滿足PF+PC的值最小即可解答，作點F或者點C關于直線BD的對稱點，正好CD⊥BD,延長至點，，則可得，連結交于點，再連結、，此時的周長最短，求出的解析式為，再與的解析式：聯立，可得交點.

（3）本題要分兩種情況進行討論：
①過F作FG∥DC，交F點右側的拋物線于G，此時兩內錯角∠GFC=∠DCF，可先用待定系數法求出直線DC的解析式，然后根據DC與FG平行，那么直線FG與直線DC的k值相同，因此可根據F的坐標求出FG的解析式，然后聯立直線FG的解析式和拋物線的解析式即可求出交點坐標，然后將不合題意的值舍去即可得出符合條件的G點．
②解法同①，過D作DM∥FC，交圓于點M，連接FM并延長交拋物線于點G，此時兩弧DF、MC相等，∠GFC=∠DCF.先求FC解析式，根據DM∥FC和D點坐標，求出DM解析式，從而就出M坐標，根據點F、M坐標求出直線MF解析式，與拋物線解析式聯立求得.

綜上所述可求出符合條件的P點的值．

（1）∵以為直徑作⊙，交軸的正半軸于點，

∴

又∵

∴

又∵

∴∽

∴

又∵，

∴

解得（負值舍去）

∴

故拋物線解析式為

∴，解得

∴二次函數的解析式為，即.

（2）∵為⊙的直徑，且，

∴，

∵點是延長線上一點，的角平分線交⊙于點

∴

連結，則，

，，可得

∵，

∴延長至點，使，

則可得

連結交于點，再連結、，

此時的周長最短，

解得的解析式為

的解析式為，可得交點

（3）符合條件的點有兩個：，.

①如圖過F作FG∥DC，交F點右側的拋物線于G，此時兩內錯角∠GFC=∠DCF，

用待定系數法求出直線DC的解析式：y=-x+4 ，

∵DC與FG平行，那么直線FG與直線DC的K值相同，因此可根據F的坐標(3,5)∴求得FG的解析式:y=-x+ ，然后聯立直線FG的解析式: :y=-x+，和拋物線的解析式.即可求出交點G坐標， 橫坐標是時，不符合題意，舍去．
②如圖過D作DM∥FC，交圓于點M，連接FM并延長交拋物線于點G，此時兩弧DF、MC相等，∠GFC=∠DCF，

解法同①，先求FC解析式，根DM∥FC和D點坐標，求出DM解析式，從而就出M坐標，根據點F、M坐標求出直線MF解析式，與拋物線解析式聯立求得.