Question

【題目】如圖，已知△BAC為圓O內接三角形，AB＝AC，D為⊙O上一點，連接CD、BD，BD與AC交于點E，且BC2＝ACCE

①求證：∠CDB＝∠CBD；

②若∠D＝30°，且⊙O的半徑為3+，I為△BCD內心，求OI的長．

Answer 1

【答案】①證明見解析；②.

【解析】

①先求出，然后求出△BCE和△ACB相似，根據相似三角形對應角相等可得∠A＝∠CBE，再根據在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等可得∠A＝∠CDB，然后求出∠CDB＝∠CBD；

②連接OB、OC，根據在同圓或等圓中，同弧所對的圓心角等于圓周角的2倍求出∠BOC＝60°，然后判定△OBC是等邊三角形，再根據等腰三角形三線合一的性質以及三角形的內心的性質可得OC經過點I，設OC與BD相交于點F，然后求出CF，再根據I是三角形的內心，利用三角形的面積求出IF，然后求出CI，最后根據OI＝OC﹣CI計算即可得解．

①證明：∵BC2＝ACCE，

∴，

∠BCE＝∠ACB，

∴△BCE∽△ACB，

∴∠CBD＝∠A，

∵∠A＝∠CDB，

∴∠CDB＝∠CBD．

②解：連接OB、OC，

∵∠A＝∠D＝30°，

∴∠BOC＝2∠A＝2×30°＝60°，

∵OB＝OC，

∴△OBC是等邊三角形，

∵CD＝CB，I是△BCD的內心，

∴OC經過點I，

設OC與BD相交于點F，

則CF＝BC×sin30°＝BC，

BF＝BCcos30°＝BC，

所以，BD＝2BF＝2×BC＝BC，

設△BCD內切圓的半徑為r，

則S△BCD＝BDCF＝（BD+CD+BC）r，

即BCBC＝（BC+BC+BC）r，

解得r＝BC＝BC，

即IF＝BC，

所以，CI＝CF﹣IF＝BC﹣BC＝（2﹣）BC，

OI＝OC﹣CI＝BC﹣（2﹣）BC＝（﹣1）BC，

∵⊙O的半徑為3+，

∴BC＝3+，

∴OI＝（﹣1）（3+）＝3+3﹣3﹣＝2．