Question

【題目】閱讀下列兩則材料，回答問題，

材料一：定義直線y＝ax+b與直線y＝bx+a互為“互助直線”，例如，直線y＝x+4與直y＝4x+1互為“互助直線“

材料二：對于平面直角坐標系中的任意兩點P1（x1，y1）、P2（x2，y2），P1、P2兩點間的直角距離d（P1，P2）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．例如：Q1（﹣3，1）、Q2（2，4）兩點間的直角距離為d（Q1，Q2）＝|﹣3﹣2|+|1﹣4|＝8

設P0（x0，y0）為一個定點，Q（x，y）是直線y＝ax+b上的動點，我們把d（P0，Q）的最小值叫做P0到直線y＝ax+b的直角距離．

（1）計算S（﹣1，6），T（﹣2，3）兩點間的直角距離d（S，T）＝　 　，直線y＝2x+3上的一點H（a，b）又是它的“互助直線”上的點，求點H的坐標．

（2）對于直線y＝ax+b上的任意一點M（m，n），都有點N（3m，2m﹣3n）在它的“互助直線”上，試求點L（5，﹣）到直線y＝ax+b的直角距離．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）5．

【解析】

（1）根據題中所給出的兩點的直角距離公式即可得出結論；求兩條直線的交點即可求H點的坐標；

（2）先表示直線y＝ax+b的“互助直線”，并將點M和N分別代入可得方程組，得：（3b+3a﹣2）m＝﹣a﹣3b，對于任意一點M（m，n）等式均成立，求出a，b的值，再根據題意得出關于x的式子，再由絕對值的幾何意義即可得出結論．

解：（1）∵S（﹣1，6）、T（﹣2，3）則S、T兩點的直角距離為d（S，T）＝|﹣1﹣（﹣2）|+|6﹣3|＝4，

∴S（﹣1，6）、T（﹣2，3）兩點間的直角距離d（S，T）＝4．

直線y＝2x+3的“互助直線”是y＝3x+2，由題意知H是它們的交點，則有：

，解得，，

∴點H的坐標為：H（1，5）．

故答案為：4．

（2）∵點M（m，n）是直線y＝ax+b上的任意一點，

∴am+b＝n①，

∵點N（3m，2m﹣3n）是直線y＝ax+b的“互助直線”上的一點，

即N（3m，2m﹣3n）在直線y＝bx+a上

∴3bm+a＝2m﹣3n②，

將①代入②得，

3bm+a＝2m﹣3（am+b），

整理得：3bm+3am﹣2m＝﹣a﹣3b，

∴（3b+3a﹣2）m＝﹣a﹣3b，

∵對于任意一點M（m，n）等式均成立，

∴，

解得 ，

∴y=x-．

∵Q（x，y）是直線y=x-上的動點，定點L（5，﹣）

∴Q（x，x﹣），

∴d（L，Q）＝|5﹣x|+|﹣﹣（x﹣）|＝|5﹣x|+|﹣x|，

∵當0≤x≤5時，代數式|5﹣x|+|﹣x|有最小值5，

∴點L（5，﹣）到直線y=x-的直角距離是5．