Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，E，F分別為BC，CD的中點，連接AE，BF交于點G，將△BCF沿BF對折，得到△BPF，延長FP交BA延長于點Q，下列結論正確的有（　　）個．

①AE⊥BF；②QB＝QF；③FG＝AG；④sin∠BQP＝；⑤SECPG＝3S△BGE

A. 5B. 4C. 3D. 2

Answer 1

【答案】C

【解析】

①首先證明△ABE≌△BCF，再利用角的關系求得∠BGE=90°，即可得到AE⊥BF；
②△BCF沿BF對折，得到△BPF，利用角的關系求出QF=QB；

③證明△BEG∽△ABG∽△AEB，得出，設GE=x，則BG=2x，AG=4x，∴BF=AE=AG+GE=5x，∴FG=BF-BG=3x，得出，即可得出結論；

④利用QF=QB，解出BP，QB，根據正弦的定義即可求解；
⑤可證△BGE與△BMC相似，進一步得到相似比，再根據相似三角形的性質和三角形的面積關系即可求解．

解：①∵四邊形BCD是正方形，

∴∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝CD，AB∥CD，

∵E，F分別是正方形ABCD邊BC，CD的中點，

∴CF＝BE，

在△ABE和△BCF中，

，

∴△ABE≌△BCF（SAS），

∴∠BAE＝∠CBF，AE＝BF，

又∵∠BAE+∠BEA＝90°，

∴∠CBF+∠BEA＝90°，

∴∠BGE＝90°，

∴AE⊥BF，故①正確；

由折疊的性質得：FP＝FC，∠PFB＝∠BFC，∠FPB＝90°

∵CD∥AB，

∴∠CFB＝∠ABF，

∴∠ABF＝∠PFB，

∴QB＝QF，故②正確；

③∵AE⊥BF，∠ABE＝90°，

∴△BEG∽△ABG∽△AEB，

∴

設GE＝x，則BG＝2x，AG＝4x，

∴BF＝AE＝AG+GE＝5x，

∴FG＝BF﹣BG＝3x，

∴，

，故③錯誤；

④由①知，QF＝QB，

令PF＝k（k＞0），則PB＝2k，

在Rt△BPQ中，設QB＝a，

∴a2＝（a﹣k）2+4k2，

，

，故④正確；

⑤如圖所示：

∵PC⊥BF，AE⊥BF，

∴PC∥AE，△BGE∽△BMC，

∵E是BC的中點，

∴BE＝CE，

∴△BGE的面積：△BMC的面積＝1：4，

∴△BGE的面積：四邊形ECMG的面積＝1：3，

連接CG，則△PGM的面積＝△CGM的面積＝2△CGE的面積＝2△BGE的面積，

∴四邊形ECPG的面積：△BGE的面積＝5：1，

∴S四邊形ECFG＝5S△BGE，故⑤錯誤．

綜上所述，共有3個結論正確．

故選：C．