Question

【題目】已知二次函數y＝ax2+bx﹣3（a≠0），且a+b＝3．

（1）若其圖象經過點（﹣3，0），求此二次函數的表達式．

（2）若（m，n）為（1）中二次函數圖象在第三象限內的點，請分別求m，n的取值范圍．

（3）點P（x1，y1），Q（x2，y2）是函數圖象上兩個點，滿足x1+x2＝2且x1＜x2，試比較y1和y2的大小關系．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）﹣3＜m＜0；（3）y2﹣y1＝（x2﹣x1）（a+3），①當a＞﹣3時，y2＞y1，②當a＝﹣3時，y2＝y1，③當a＜﹣3時，y2＜y1．

【解析】

（1）將點的坐標代入函數，可得a、b，即得到二次函數的表達式．（2）根據拋物線的圖象，可得m，n的取值范圍．（3）根據二次函數表達式，可得y2﹣y1＝（x2﹣x1）（a+3），分析a的取值范圍，可得到y1和y2的大小關系．

解：（1）由題意得：，

解得：，

∴此二次函數的表達式為：y＝x2+2x﹣3；

（2）如圖，∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，且（m，n）是二次函數圖象在第三象限內的點，

∴﹣4≤n＜0，

當y＝0時，x2+2x﹣3＝0，

x＝﹣3或1，

∴圖象過（1，0）和（﹣3，0），

∴﹣3＜m＜0；

（3）由條件可得：y1＝ax12+（3﹣a）x1﹣3，y2＝ax22+（3﹣a）x2﹣3，

∴y2﹣y1＝（x2﹣x1）[a（x2+x1）+3﹣a]，

∵x1+x2＝2且x1＜x2，

∴y2﹣y1＝（x2﹣x1）（a+3），

①當a＞﹣3時，y2＞y1，

②當a＝﹣3時，y2＝y1，

③當a＜﹣3時，y2＜y1．