Question

【題目】某乒乓球館使用發球機進行輔助訓練，出球口在桌面中線端點A處的正上方，假設每次發出的乒乓球的運動路線固定不變，且落在中線上．在乒乓球運行時，設乒乓球與端點A的水平距離為x（米），與桌面的高度為y（米），運行時間為t（秒），經多次測試后，得到如下部分數據：

t（秒）	0	0.16	0.2	0.4	0.6	0.64	0.8	6
X（米）	0	0.4	0.5	1	1.5	1.6	2	…
y（米）	0.25	0.378	0.4	0.45	0.4	0.378	0.25	…

（1）當t為何值時，乒乓球達到最大高度？
（2）乒乓球落在桌面時，與端點A的水平距離是多少？
（3）乒乓球落在桌面上彈起后，y與x滿足y=a（x﹣3）2+k．
①用含a的代數式表示k；
②球網高度為0.14米，球桌長（1.4×2）米．若球彈起后，恰好有唯一的擊球點，可以將球沿直線扣殺到點A，求a的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由表格中數據可得，t=0.4（秒），乒乓球達到最大高度

（2）

解：由表格中數據，可得y是x的二次函數，可設y=a（x﹣1）2+0.45，

將（0，0.25）代入，可得：a=﹣ ，

則y=﹣ （x﹣1）2+0.45，

當y=0時，0=﹣ （x﹣1）2+0.45，

解得：x1= ，x2=﹣ （舍去），

即乒乓球與端點A的水平距離是 m

（3）

解：①由（2）得乒乓球落在桌面上時，對應點為：（ ，0），

代入y=a（x﹣3）2+k，得（ ﹣3）2a+k=0，

化簡得：k=﹣ a；

②∵球網高度為0.14米，球桌長（1.4×2）米，

∴扣殺路線在直線經過（0，0）和（1.4，0.14）點，

由題意可得，扣殺路線在直線y= x上，由①得，y=a（x﹣3）2﹣ a，

令a（x﹣3）2﹣ a= x，

整理得：20ax2﹣（120a+2）x+175a=0，

當△=（120a+2）2﹣4×20a×175a=0時符合題意，

解方程得：a1= ，a2= ，

當a1= 時，求得x=﹣ ，不符合題意，舍去；

當a2= 時，求得x= ，符合題意

【解析】（1）利用網格中數據直接得出乒乓球達到最大高度時的時間；（2）首先求出函數解析式，進而求出乒乓球落在桌面時，與端點A的水平距離；（3）①由（2）得乒乓球落在桌面上時，得出對應點坐標，只要利用待定系數法求出函數解析式即可；②由題意可得，扣殺路線在直線y= x上，由①得，y=a（x﹣3）2﹣ a，進而利用根的判別式求出a的值，進而求出x的值．