Question

【題目】已知拋物線y=（x﹣m）2﹣（x﹣m），其中m是常數．
（1）求證：不論m為何值，該拋物線與x軸一定有兩個公共點；
（2）若該拋物線的對稱軸為直線x= ．
①求該拋物線的函數解析式；
②把該拋物線沿y軸向上平移多少個單位長度后，得到的拋物線與x軸只有一個公共點．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：y=（x﹣m）2﹣（x﹣m）=x2﹣（2m+1）x+m2+m，

∵△=（2m+1）2﹣4（m2+m）=1＞0，

∴不論m為何值，該拋物線與x軸一定有兩個公共點

（2）

解：①∵x=﹣ = ，

∴m=2，

∴拋物線解析式為y=x2﹣5x+6；

②設拋物線沿y軸向上平移k個單位長度后，得到的拋物線與x軸只有一個公共點，則平移后拋物線解析式為y=x2﹣5x+6+k，

∵拋物線y=x2﹣5x+6+k與x軸只有一個公共點，

∴△=52﹣4（6+k）=0，

∴k= ，

即把該拋物線沿y軸向上平移 個單位長度后，得到的拋物線與x軸只有一個公共點

【解析】（1）先把拋物線解析式化為一般式，再計算△的值，得到△=1＞0，于是根據△=b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點個數即可判斷不論m為何值，該拋物線與x軸一定有兩個公共點；（2）①根據對稱軸方程得到=﹣ = ，然后解出m的值即可得到拋物線解析式；②根據拋物線的平移規律，設拋物線沿y軸向上平移k個單位長度后，得到的拋物線與x軸只有一個公共點，則平移后拋物線解析式為y=x2﹣5x+6+k，再利用拋物線與x軸的只有一個交點得到△=52﹣4（6+k）=0，然后解關于k的方程即可．