Question

【題目】如圖，AC是矩形ABCD的對角線，⊙O是△ABC的內切圓，現將矩形ABCD按如圖所示的方式折疊，使點D與點O重合，折痕為FG．點F，G分別在邊AD，BC上，連結OG，DG．若OG⊥DG，且⊙O的半徑長為1，則下列結論不成立的是（ ）
A.CD+DF=4
B.CD﹣DF=2 ﹣3
C.BC+AB=2 +4
D.BC﹣AB=2

Answer 1

【答案】A
【解析】解：如圖，
設⊙O與BC的切點為M，連接MO并延長MO交AD于點N，
∵將矩形ABCD按如圖所示的方式折疊，使點D與點O重合，折痕為FG，
∴OG=DG，
∵OG⊥DG，
∴∠MGO+∠DGC=90°，
∵∠MOG+∠MGO=90°，
∴∠MOG=∠DGC，
在△OMG和△GCD中，

∴△OMG≌△GCD，
∴OM=GC=1，CD=GM=BC﹣BM﹣GC=BC﹣2．
∵AB=CD，
∴BC﹣AB=2．
設AB=a，BC=b，AC=c，⊙O的半徑為r，
⊙O是Rt△ABC的內切圓可得r= （a+b﹣c），
∴c=a+b﹣2．
在Rt△ABC中，由勾股定理可得a2+b2=（a+b﹣2）2 ，
整理得2ab﹣4a﹣4b+4=0，
又∵BC﹣AB=2即b=2+a，代入可得2a（2+a）﹣4a﹣4（2+a）+4=0，
解得 （舍去），
∴ ，
∴BC+AB=2 +4．
再設DF=x，在Rt△ONF中，FN= ，OF=x，ON= ，
由勾股定理可得 ，
解得x=4 ，
∴CD﹣DF= ，CD+DF= ．
綜上只有選項A錯誤，
故選A．
【考點精析】掌握三角形的內切圓與內心和翻折變換（折疊問題）是解答本題的根本，需要知道三角形的內切圓的圓心是三角形的三條內角平分線的交點，它叫做三角形的內心；折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，對稱軸是對應點的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和角相等．