Question

【題目】如圖，在△ABC中（BC＞AC），∠ACB=90°，點D在AB邊上，DE⊥AC于點E．
（1）若 = ，AE=2，求EC的長；
（2）設點F在線段EC上，點G在射線CB上，以F，C，G為頂點的三角形與△EDC有一個銳角相等，FG交CD于點P．問：線段CP可能是△CFG的高線還是中線？或兩者都有可能？請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠ACB=90°，DE⊥AC，

∴DE∥BC，

∴ ，

∵ ，AE=2，

∴EC=6

（2）解：①如圖1，

若∠CFG=∠ECD，此時線段CP是△CFG的FG邊上的中線．

證明：∵∠CFG+∠CGF=90°，∠ECD+∠PCG=90°，

又∵∠CFG=∠ECD，

∴∠CGF=∠PCG，

∴CP=PG，

∵∠CFG=∠ECD，

∴CP=FP，

∴PF=PG=CP，

∴線段CP是△CFG的FG邊上的中線；

②如圖2，

若∠CFG=∠EDC，此時線段CP為△CFG的FG邊上的高線．

證明：∵DE⊥AC，

∴∠EDC+∠ECD=90°，

∵∠CFG=∠EDC，

∴∠CFG+∠ECD=90°，

∴∠CPF=90°，

∴線段CP為△CFG的FG邊上的高線．

③如圖3，

當CD為∠ACB的平分線時，CP既是△CFG的FG邊上的高線又是中線．

【解析】（1）易證DE∥BC，由平行線分線段成比例定理列比例式即可求解；（2）分三種情況討論：①若∠CFG=∠ECD，此時線段CP是△CFG的FG邊上的中線；②若∠CFG=∠EDC，此時線段CP為△CFG的FG邊上的高線；③當CD為∠ACB的平分線時，CP既是△CFG的FG邊上的高線又是中線．
【考點精析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質的相關知識點，需要掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．