Question

【題目】某工廠投入生產一種機器的總成本為2000萬元．當該機器生產數量至少為10臺，但不超過70臺時，每臺成本y與生產數量x之間是一次函數關系，函數y與自變量x的部分對應值如下表：

x（單位：臺）	10	20	30
y（單位：萬元∕臺）	60	55	50

（1）求y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）求該機器的生產數量；
（3）市場調查發現，這種機器每月銷售量z（臺）與售價a（萬元∕臺）之間滿足如圖所示的函數關系．該廠生產這種機器后第一個月按同一售價共賣出這種機器25臺，請你求出該廠第一個月銷售這種機器的利潤．（注：利潤=售價﹣成本）

Answer 1

【答案】
（1）

解：設y與x之間的關系式為y=kx+b，由題意，得 ，

解得： ，

∴y=﹣ x+65．

∵該機器生產數量至少為10臺，但不超過70臺，

∴10≤x≤70；

（2）

解：由題意，得

xy=2000，

﹣ x2+65x=2000，

﹣x2+130x﹣4000=0，

解得：x1=50，x2=80＞70（舍去）．

答：該機器的生產數量為50臺；

（3）

解：設每月銷售量z（臺）與售價a（萬元∕臺）之間的函數關系式為z=ma+n，由函數圖象，得

，解得： ，∴z=﹣a+90．

當z=25時，a=65，

成本y=﹣ x+65=﹣ ×50+65=40（萬元）；

總利潤為：25（65﹣40）=625（萬元）．

答：該廠第一個月銷售這種機器的利潤為625萬元．

【解析】（1）設y與x之間的關系式為y=kx+b，運用待定系數法就可以求出其關系式，由該機器生產數量至少為10臺，但不超過70臺就可以確定自變量的取值范圍；（2）根據每臺的成本乘以生產數量等于總成本建立方程求出其解即可；（3）設每月銷售量z（臺）與售價a（萬元∕臺）之間的函數關系式為z=ma+n，運用待定系數法求出其解析式，再將z=25代入解析式求出a的值，即每臺售價，就可以求出每臺的利潤，從而求出總利潤．