Question

10．定義：如果點C將線段AB分成兩條線段AC和BC，若$\frac{AC}{AB}$=2×$\frac{BC}{AC}$，那么稱點C為線段AB的和諧點，$\frac{AC}{AB}$的比值稱為和諧比．
（1）如圖1，若線段AB的長為1，點C是線段AB的和諧點，求線段AC的長以及和諧比．
（2）如圖2①，在△ABC中，CE是AB邊上的高線，點D是AB邊上一點，∠A=45°，∠ADC=60°，ED=BD，現給出如下命題：
①命題1：點D是線段AB的和諧點；
②命題2：點E是線段AD的和諧點．
判斷命題是真命題還是假命題．
（3）如圖2②，點C是線段AB的和諧點，⊙O是等邊三角形ACD的外接圓，連接BD交⊙O于點E，連接AE交DC于點F，若等邊三角形的邊長為m，請用含m對的代數式表示線段DF的長．

Answer 1

分析 （1）設AC=x，根據和諧點的定義求出x，即可解決問題．
（2）①是真命題．根據和諧點的定義證明即可．②是假命題．根據和諧點的定義證明即可．
（3）如圖②中，作DQ⊥AB于Q，FH⊥AD于H．設BC=y，由點C是線段AB的和諧點，可得$\frac{m}{m+x}$=$\frac{2x}{m}$，解得x=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$m，由△ABC是等邊三角形，邊長為m，由DQ⊥AC，DQ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$m，AQ=QC=$\frac{1}{2}$m，∠DAC=∠ACD=∠ADC=∠DEA=60°，推出QD=QB，推出∠B=45°，再證明∠DAF=45°，即可解決問題．

解答 解：（1）設AC=x，
∵點C是線段AB的和諧點，
∴$\frac{x}{1}$=2×$\frac{1-x}{x}$，
整理得x²+2x-2=0，
解得x=-1+$\sqrt{3}$或-1-$\sqrt{3}$（舍棄），
∴AC=$\sqrt{3}$-1，$\frac{AC}{AB}$=$\sqrt{3}$-1．

（2）①是真命題．
理由：如圖①中，設AE=a，
∵CE⊥AD，∠A=45°，∠ADC=60°，
∴∠ACE=∠A=45°，∠ECD=30°，
∴AE=EC=a，ED=BD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{a+\frac{\sqrt{3}}{3}a}{a+\frac{2\sqrt{3}}{3}a}$=$\sqrt{3}$-1，2×$\frac{DB}{AD}$=$\frac{2×\frac{\sqrt{3}}{3}a}{a+\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\sqrt{3}$-1，
∴$\frac{AD}{AB}$=2×$\frac{BD}{AD}$，
∴點D是線段AB的和諧點．
②是假命題．
理由：如圖①中，
由①可知：$\frac{AE}{AD}$=$\frac{a}{a+\frac{\sqrt{3}}{3}a}$=$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$，2×$\frac{ED}{AE}$=$\frac{2×\frac{\sqrt{3}}{3}a}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{AE}{AD}$≠2×$\frac{ED}{AE}$，
∴點E不是線段AD的和諧點．

（3）如圖②中，作DQ⊥AB于Q，FH⊥AD于H．設BC=y，
∵點C是線段AB的和諧點，
∴$\frac{m}{m+x}$=$\frac{2x}{m}$，
整理得，2x²+2mx-m²=0，
解得x=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$m或$\frac{-\sqrt{3}-1}{2}$m（舍棄），
∵△ABC是等邊三角形，邊長為m，DQ⊥AC，
∴DQ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$m，AQ=QC=$\frac{1}{2}$m，∠DAC=∠ACD=∠ADC=∠DEA=60°，
∵BC=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$m，
∴QB=QC+BC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$m，
∴QD=QB，
∴∠B=45°，
∵∠DEA=∠B+∠EAB=60°，
∴∠EAB=15°，
∴∠DAE=45°
∵FH⊥AD，
∴∠HAF=∠HFA=45°，
∴AH=HF，
在Rt△DHF中，設DH=y，∵∠DHF=30°，
∴DF=2DH=2y，FH=AH=$\sqrt{3}$y，
∵AD=m，
∴y+$\sqrt{3}$y=m，
∴y=$\frac{m}{\sqrt{3}+1}$，
∴DF=2y=$\frac{2m}{\sqrt{3}+1}$=（$\sqrt{3}$-1）m．

點評 本題考查圓綜合題、等邊三角形的性質、等腰直角三角形的判定和性質、分式方程、和諧點的定義等知識，解題的關鍵是學會理解題意，學會構建方程解決問題，第三個問題的突破點是證明DQ=QB，屬于中考壓軸題．