Question

18．如圖，銳角三角形ABC內接于半徑為R的⊙O，H是三角形ABC的垂心，AO的延長線與BC交于點M，若OH⊥AO，BC=10，OA=6，則OM的長=$\frac{11}{3}$．

Answer 1

分析 先判斷出ON是△BCF的中位線，得出CF=2ON，BN=$\frac{1}{2}$BC，進而用勾股定理求出ON=$\sqrt{10}$，利用垂心和直徑所對的圓周角是直角判斷出四邊形AHCF是平行四邊形，得出AH=CF，再判斷出△AOH∽△ONM得出比例式，即可求出OM．

解答 解：如圖，連接BO并延長交圓于F，連接CF，AH，連接AF，CH，過點O作ON⊥BC于N，
∵BF是⊙O的直徑，
∴∠BCF=∠BAF=90°，
∴ON∥FC，
∵OB=OF，
∴ON是△BCF的中位線，
∴CF=2ON．
∴BN=CN=$\frac{1}{2}$BC=5，
在Rt△OBN中，OB=OA=6，BN=5，
∴ON=$\sqrt{O{B}^{2}-B{N}^{2}}$=$\sqrt{11}$，
∴CF=2ON=2$\sqrt{11}$，
∵H是△ABC的垂心，
∴AH⊥BC，
∵CF⊥BC，
∴AH∥CF，
同理可得：CH∥AF，
∴四邊形AHCF是平行四邊形，
∴AH=CF=2$\sqrt{11}$
∵H是△ABC的垂心，
∴AH⊥BC，
∵ON⊥BC，
∴AH∥ON，
∴∠OAH=∠NOM，
∵OH⊥AM，
∴∠AOH=∠ONM=90°，
∴△AOH∽△ONM，
∴$\frac{AH}{OM}=\frac{AO}{ON}$，
∴$\frac{2\sqrt{11}}{OM}=\frac{6}{\sqrt{11}}$，
∴OM=$\frac{11}{3}$．
故答案為$\frac{11}{3}$．

點評 此題是三角形的五心，主要考查了三角形中位線定理，勾股定理，垂心和外心的性質，相似三角形的判定和性質，平行四邊形的判定和性質，解本題的關鍵是求出AH=CF=2ON=2$\sqrt{11}$．是一道很好的競賽題．