Question

15．如圖：拋物線y=ax²+bx+c交y軸于點C（0，4），對稱軸x=2與x軸交于點D，頂點為M，且DM=OC+OD，
（1）求拋物線的解析式；
（2）設點P（x，y）是第一象限內該拋物線上的一個動點，△PCD的面積為S，求S關于x的函數關系式，寫出自變量x的取值范圍，并求當x取多少時，S的值最大，最大是多少？

Answer 1

分析 （1）由OC與OD的長，求出MD的長，確定出M坐標，設y=a（x-2）²+6，把C坐標代入求出a的值，即可確定出拋物線解析式；
（2）由拋物線解析式設出P坐標，過點P做x軸的垂線，交x軸于點E，利用表示出的點P的坐標確定出線段PE、DE的長，用梯形OCPE的面積減去直角三角形OCD的面積和直角三角形PDE的面積，進而得出S與x的函數解析式，利用二次函數性質求出S最大值時x的值即可．

解答 解：（1）∵OC=4，OD=2，
∴DM=6，
∴點M（2，6），
設y=a（x-2）²+6，代入（0，4）得：a=-$\frac{1}{2}$，
∴該拋物線解析式為y=-$\frac{1}{2}$（x-2）²+6；


（2）設點P（x，-$\frac{1}{2}$ （x-2）²+6），即（x，-$\frac{1}{2}$x²+2x+4），x＞0，
過點P作x軸的垂線，交x軸于點E，
則PE=-$\frac{1}{2}$x²+2x+4，DE=x-2，
S=$\frac{1}{2}$x（-$\frac{1}{2}$x²+2x+4+4）-$\frac{1}{2}$×2×4-$\frac{1}{2}$（x-2）（-$\frac{1}{2}$x²+2x+4），
即S=-$\frac{1}{2}$x²+4x=-$\frac{1}{2}$（x-4）²+8，
∴當x=4時，S有最大值為8．

點評 此題考查了待定系數法求二次函數解析式，以及二次函數的最值，熟練掌握待定系數法是解本題的關鍵．