Question

20．請同學們先認真研究第1小題的問題，尋找出解決這類問題的通法，并利用此方法解決第2小題．
（1）在下列圖中我們給出了平行四邊形ABCD的頂點A，B，D的坐標，請同學們分別在橫線上寫出頂點C的坐標

①在圖1中，A（0，0），B（4，0），D（1，2），則C點坐標為（5，2）；
②在圖2中，A（0，0），B（e，0），D（c，d），則C點坐標為（e+c，d）；（用c，d，e表示）
③在圖3中，A（a，b），B（c，d），D（e，f），則C點坐標為（c+e-a，d）；（用a，c，d，e表示）
④在圖4中，A（a，b），B（c，d），D（e，f），則C點坐標為（e+c-a，f+d-b）；（用a，b，c，d，e，f表示）
（2）在直角坐標系平面內，函數$y=\frac{m}{x}$的圖象過了A（1，4），B（3，k），點C在直線y=2x-5上運動，D點在y軸上運動，問當C點和D點的坐標為何值時，四邊形ABCD為平行四邊形．（A，B，C，D按順序排列）

Answer 1

分析 （1）①如圖1中，過點作DE⊥AB于點E，過點C作CF⊥AB于點F，由平行四邊形的性質，即可求得答案；②同①可得；③同①可得；④分別過點A，B，C，D作x軸的垂線，垂足分別為A₁，B₁，C₁，D₁，分別過A，D作AE⊥BB₁于E，DF⊥CC₁于點F．在平行四邊形ABCD中，CD=BA，根據內角和定理，又∵BB₁∥CC₁，可推出∠EBA=∠FCD，△BEA≌△CFD．依題意得出AF=DF=a-c，BE=CF=d-b．設C（x，y）．由e-x=a-c，得x=e+c-a．由y-f=d-b，得y=f+d-b．繼而推出點C的坐標；
（2）如圖5中，作CE⊥x軸由E，AH⊥x軸于H，BF⊥AH于F．于A（1，4）y=$\frac{m}{x}$上，推出m=4，推出B（3，$\frac{4}{3}$），推出BF=2，AF=4-$\frac{4}{3}$=$\frac{8}{3}$，由（1）可知，△DCE≌△BAF，可知CE=AF=$\frac{8}{3}$，DE=BF=2，推出點C的縱坐標為-$\frac{8}{3}$，由此可以求出點C坐標，再求出OD的長即可解決問題．

解答 解：（1）①如圖1中，過點作DE⊥AB于點E，過點C作CF⊥AB于點F，


∵CD∥AB，D（1，2）
∴DE=CF=2，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=CB，BE=CF，AB=DC=4，
在Rt△ABE和Rt△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}\\{DE=CF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADE≌Rt△BCF（HL），
∴AE=BF=1，OF=5，
∴C的坐標為（5，2）；
故答案為（5，2）．
②如圖2中，過點B作BE⊥AD于點E，過點C作CF⊥AD于點F，

由Rt△ADE≌Rt△BCF（HL），
∴AE=BF=c，CDE=d，OF=c+e，
∴C的坐標為（c+e，d）；
故答案為（c+e，d）．
③如圖3中，過點B作BE⊥AD于點E，過點C作CF⊥AD于點F，

由Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），
∴AE=BF=c-a，
∴C的坐標為（c+e-a，d）．
故答案為：（c+e-a，d）．
④如圖4中，分別過點A，B，C，D作x軸的垂線，垂足分別為A₁，B₁，C₁，D₁，
分別過A，D作AE⊥BB₁于E，DF⊥CC₁于點F．

在平行四邊形ABCD中，CD=BA，
又∵BB₁∥CC₁，
∴∠EBA+∠ABC+∠BCF=∠ABC+∠BCF+∠FCD=180度．
∴∠EBA=∠FCD．
在△BEA和△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠DFC}\\{∠EBA=∠FCD}\\{AB=CD}\end{array}\right.$，
∴△BEA≌△CFD（AAS）．
∴AE=DF=a-c，BE=CF=d-b．
設C（x，y）．
由e-x=a-c，得x=e+c-a．
由y-f=d-b，得y=f+d-b．
∴C（e+c-a，f+d-b）；
故答案為（e+c-a，f+d-b）；

（2）如圖5中，作CE⊥x軸由E，AH⊥x軸于H，BF⊥AH于F．

∵A（1，4）y=$\frac{m}{x}$上，
∴m=4，B（3，$\frac{4}{3}$），
∴BF=2，AF=4-$\frac{4}{3}$=$\frac{8}{3}$，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，由（1）可知，△DCE≌△BAF，可知CE=AF=$\frac{8}{3}$，DE=BF=2，
∴點C的縱坐標為-$\frac{8}{3}$，
∴-$\frac{8}{3}$=2x-5，
∴x=$\frac{7}{6}$，
∴C（$\frac{7}{6}$，-$\frac{8}{3}$），OD=DE-OE=2-$\frac{7}{6}$=$\frac{5}{6}$，
∴D（-$\frac{5}{6}$，0），
∴當C點坐標為（$\frac{7}{6}$，-$\frac{8}{3}$）和D點的坐標為（-$\frac{5}{6}$，0）時，四邊形ABCD為平行四邊形．

點評 此題主要考查了平行四邊形的性質，平面直角坐標系內的坐標，平行線的性質、全等三角形的判定和性質、反比例函數的性質、一次函數的性質等知識．理解平行四邊形的特點結合平面直角坐標系是解決本題的關鍵．