Question

【題目】如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AB=4cm，動點P以1cm/s的速度分別從點A、B同時出發，點P沿A→B向終點B運動，點Q沿B→A向終點A運動，過點P作PD⊥AC于點D，以PD為邊向右側作正方形PDEF，過點Q作QG⊥AB，交折線BC﹣CA于點G與點C不重合，以QG為邊作等腰直角△QGH，且點G為直角頂點，點C、H始終在QG的同側，設正方形PDEF與△QGH重疊部分圖形的面積為S（cm2），點P運動的時間為t（s）（0＜t＜4）．

（1）當點F在邊QH上時，求t的值；
（2）當正方形PDEF與△QGH重疊部分圖形是四邊形時，求S與t之間的函數關系式；
（3）當FH所在的直線平行或垂直于AB時，直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1中，當點F在邊QH上時，易知AP=PQ=BQ，

∵Rt△ABC中，AB=4，

∴t= 時，點F在邊QH上

（2）

解：如圖2中，當點F在GQ上時，易知AP=BQ=t，PD=PF= t．PQ=PF= t，

∴t+ t+t=4，

∴t= ，

由（1）可知，當 ＜t≤ 時，正方形PDEF與△QGH重疊部分圖形是四邊形

此時s= t[ t﹣ （4﹣2t）]= t2﹣2t．

如圖3中，當G在EF上時，則有 （4﹣t）= t+ （2t﹣4）．解得t= ，

如圖4中，當G與D重合時，易知2t﹣4= t，解得t= ．

當 ≤t＜ 時，S=S△GHQ﹣S△TRQ= （4﹣t）2﹣ [ （2t﹣4）]2=﹣ t2﹣4

（3）

解：①如圖5中，當FH⊥AB時，延長HF交AB于T，易知AP=BQ=GQ=HG=TQ=t，PT= t，

∴3t+ t=4，

∴t= ．

②如圖7中，當HF⊥AB于T時，

∵TB=4﹣2（4﹣t）=4﹣ t，解得t= ，

③如圖8中，當HF∥AB時，∴ t+t=4，

∴t= ，

綜上所述，t= s或 s或 時，FH所在的直線平行或垂直于AB

【解析】（1）如圖1中，當點F在邊QH上時，易知AP=PQ=BQ，求出AB的長即可解決問題；（2）分兩種情形①如圖2中，當點F在GQ上時，易知AP=BQ=t，PD=PF= t．PQ=PF= t，列出方程即可解決問題；②如圖3中，重疊部分是四邊形GHRT時；（3）分三種種情形求解①如圖5中，當FH⊥AB時，延長HF交AB于T，易知AP=BQ=GQ=HG=TQ=t，PT= t；②如圖7中，當FH∥AB時，易知AQ=PQ= t，BQ=t；分別列出方程即可解決問題．③如圖8中，當HF∥AB時；
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等腰直角三角形的相關知識，掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°，以及對等腰三角形的性質的理解，了解等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）．