Question

12．如圖，O是半徑為R的正六邊形的中心．
（1）求O點到正六邊形各邊距離之和．
（2）若P點是正六邊形內異于O點的任意一點，P點到正六邊形各邊距離之和與O點到正六邊形各邊距離之和有什么關系？請說明理由．
（3）類比上述探索過程，直接填寫結論：
邊心距為d的正三邊形內任意一點P到各邊距離之和等于3d．（用含d的代數式表示）
邊心距為d的正八邊形內任意一點P到各邊距離之和等于8d．（用含d的代數式表示）
邊心距為d的正n邊形內任意一點P到各邊距離之和等于nd．（用含d、n的代數式表示）

Answer 1

分析 （1）由正六邊形的性質得出△AOB是等邊三角形，得出AB=OA=R，AM=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$R，由勾股定理求出OM，即可得出結果；
（2）過點P分別作正六邊形的三對平行邊的垂線段CD、EF、KL，由正六邊形的三對平行邊之間的距離相等得出CD=EF=KL，由CD=2OM，得出CD+EF+KL=6OM即可；
（3）同（2）即可得出結果．

解答 解：（1）由正六邊形的性質得：∠AOB=60°，OA=OB，
∴△AOB是等邊三角形，
∴AB=OA=R，AM=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$R，
∴OM=$\sqrt{O{A}^{2}-A{M}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，
∴O點到正六邊形各邊距離之和為6OM=3$\sqrt{3}$R；
（2）P點到正六邊形各邊距離之和與O點到正六邊形各邊距離之和相等；理由如下：
過點P分別作正六邊形的三對平行邊的垂線段CD、EF、KL，如圖所示：
∵正六邊形的三對平行邊之間的距離相等，
∴CD=EF=KL，
又∵CD=2OM，
∴CD+EF+KL=6OM=3$\sqrt{3}$R，
即P點到正六邊形各邊距離之和與O點到正六邊形各邊距離之和相等；
（3）同（2）得：邊心距為d的正三邊形內任意一點P到各邊距離之和等于3d，
邊心距為d的正八邊形內任意一點P到各邊距離之和等于8d，
邊心距為d的正n邊形內任意一點P到各邊距離之和等于nd；
故答案為：3d，8d，nd．

點評 本題考查了正多邊形和圓、正多邊形的性質、等邊三角形的判定與性質、勾股定理、類比思想的應用；熟練掌握正六邊形的性質，由勾股定理求出OM是解決問題的關鍵；注意類比思想的應用．