Question

12．已知：關于x的一元二次方程x²-6x-m=0有兩個實數根．
（1）求m的取值范圍；
（2）如果m取符合條件的最小整數，且一元二次方程x²-6x-m=0與x²+nx+1=0有一個相同的根，求常數n的值．

Answer 1

分析 （1）根據判別式的意義得到△=（-6）2-4×1×（-m）≥0，然后解不等式即可得到m的范圍；
（2）在（1）中m的取值范圍內確定滿足條件的m的值，再解方程x²-6x-m=0，然后把它的解代入x²+nx+1=0可計算出n的值．

解答 解：（1）根據題意得△=（-6）2-4×1×（-m）≥0，
解得m≥-9；
（2）∵m≥-9，
∴m的最小整數為-9，
此時方程變形為x²-6x+9=0，解得x₁=x₂=3，
把x=3代入x²+nx+1=0得9+3n+1=0，解得n=-$\frac{10}{3}$．

點評 本題考查了根的判別式：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與△=b²-4ac有如下關系：當△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數根；當△=0時，方程有兩個相等的兩個實數根；當△＜0時，方程無實數根．