Question

13．已知（m，0），（n，0）是拋物線y=x²-2（a-1）x+a²-1與x軸的兩個不同交點．
（1）求a的取值范圍；
（2）若（m-1）（n-1）=10，求a的值．

Answer 1

分析 （1）根據判別式的意義得到△=4（a-1）²-4（a²-1）＞0，然后解不等式得到a的范圍；
（2）根據根與系數的關系得到m+n=2 （a-1）=2a-2，mn=a²-1，則由（m-1）（n-1）=10得到a²-1-（2a-2）+1=a²-2a+2=10，然后解關于a的方程即可得到滿足條件的a的值．

解答 解：（1）由題意知△=4（a-1）²-4（a²-1）＞0，
解得a＜1；
（2）∵（m，0），（n，0）是拋物線y=x²-2（a-1）x+a²-1與x軸的兩個不同交點，
∴m、n為方程x²-2（a-1）x+a²-1=0的兩根，
∴m+n=2 （a-1）=2a-2，mn=a²-1，
∵（m-1）（n-1）=10，
即mn-（m+n）+1=10，
∴a²-1-（2a-2）+1=a²-2a+2=10，
解得a=-2或4（＞1，舍去），
∴a的值是-2．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點：對于二次函數y=ax²+bx+c（a，b，c是常數，a≠0），△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點個數：△=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．也考查了根與系數的關系．