Question

1．如圖，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且點B，A，D在同一條直線上，M，N分別為BE，CD的中點．
（1）求證：△ABE≌ACD；
（2）判斷△AMN的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由∠BAC=∠DAE，等式左右兩邊都加上∠CAE，得到一對角相等，再由AB=AC，AF為公共邊，利用SAS可得出三角形ABE與三角形ACD全等；
（2）由M與N分別為BE，CD的中點，且BE=CD，可得出ME=ND，由三角形ABE與三角形ACD全等，得到對應邊AE=AD，對應角∠AEB=∠ADC，利用SAS可得出三角形AME與三角形AND全等，利用全等三角形的對應邊相等可得出AM=AN，即三角形AMN為等腰三角形．

解答 證明：（1）∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，即∠BAE=∠CAD，
在△ABE和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAE=∠CAD}\\{AE=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACD（SAS）；

（2）∵M、N分別為BE、CD的中點，且BE=CD，
∴ME=ND，
∵△ABE≌△ACD，
∴∠AEM=∠ADC，AE=AD，
在△AEM和△ADN中，$\left\{\begin{array}{l}{ME=ND}\\{∠AEM=∠ADN}\\{AE=AD}\end{array}\right.$，
∴△AEM≌△ADN（SAS），
∴AM=AN，
即△AMN為等腰三角形．

點評 此題考查了全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵．