Question

【題目】如圖，已知矩形ABCD中，AB=8，AD=6， 點(diǎn)E是邊CD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AE，將△AED沿直線AE翻折得△AEF.

(1) 當(dāng)點(diǎn)C落在射線AF上時(shí)，求DE的長;

(2)以F為圓心，FB長為半徑作圓F，當(dāng)AD與圓F相切時(shí)，求cos∠FAB的值;

(3)若P為AB邊上一點(diǎn)，當(dāng)邊CD上有且僅有一點(diǎn)Q滿∠BQP=45°，直接寫出線段BP長的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）DE=3；（2） ；（3）BP=12-12或6＜BP≤

【解析】

(1)當(dāng)點(diǎn)C落在射線AF上時(shí)，設(shè)DE=x，則EF=DE=x，CE=8-x，根據(jù)勾股定理，列出方程，即可求解；

(2)以F為圓心，FB長為半徑作圓F，當(dāng)AD與圓F相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為M，連接FM，則FM⊥AD，過點(diǎn)F作FN⊥AB，設(shè)FM=x，則AN=FM=x，BF=FM=x，BN=8-x，根據(jù)勾股定理，列出方程，即可求解；

(3)以PB為底邊作等腰直角三角形PMB，以點(diǎn)M為圓心，MP為半徑作圓M，分三類：①當(dāng)圓M與CD相切時(shí)，求出BP的值；②當(dāng)圓M過點(diǎn)C時(shí)，求出BP的值；③當(dāng)圓M過點(diǎn)D時(shí)，求出BP的值，進(jìn)而，可求出BP的范圍.

（1）當(dāng)點(diǎn)C落在射線AF上時(shí)，如圖1，

∵在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，△AED沿直線AE翻折得△AEF，

∴AF=AD=6，AC=，

∴CF=AC-AF=10-6=4，

設(shè)DE=x，則EF=DE=x，CE=8-x，

∵在RtCFE中，，

∴，解得：x=3，

∴DE=3；

（2）以F為圓心，FB長為半徑作圓F，當(dāng)AD與圓F相切時(shí)，如圖2，

設(shè)切點(diǎn)為M，連接FM，則FM⊥AD，過點(diǎn)F作FN⊥AB，

設(shè)FM=x，則AN=FM=x，BF=FM=x，BN=8-x，

∵，

∴，解得：x=，

∴cos∠FAB==；

（3）以PB為底邊作等腰直角三角形PMB，以點(diǎn)M為圓心，MP為半徑作圓M，

①當(dāng)圓M與CD相切時(shí)，如圖3，切點(diǎn)為Q，此時(shí)，邊CD上有且僅有一點(diǎn)Q滿足∠BQP=45°，

連接QM，延長QM交PB于點(diǎn)H，則HQ⊥CD，HQ⊥PB，

∵PMB是等腰直角三角形，

∴設(shè)PH=BH=MH=x，則PM=QM=,

∵HQ=AD=6，

∴x+=6，解得：x=，

∴BP=2x=

②當(dāng)圓M過點(diǎn)C時(shí)，如圖4，此時(shí)，邊CD上有兩個(gè)點(diǎn)Q滿足∠BQP=45°，

∵∠MPB=45°，∠PBC=90°，

∴BP=BC=6，

③當(dāng)圓M過點(diǎn)D時(shí)，如圖5，此時(shí)，邊CD上有且僅有一點(diǎn)Q滿足∠BQP=45°，

連接MD，過點(diǎn)M作MN⊥AD，MH⊥BP，

設(shè)PH=HM=HB=x，則MP=MD=，MN=AH=8-x，ND=6-x，

∵在RtMND中，，

∴，解得：x=，

∴BP=2×=，

綜上所述：線段BP長的取值范圍是：BP=12-12或6＜BP≤.

圖1 圖2 圖3

圖4 圖5