Question

【題目】如圖，已知一次函數y＝kx+b的圖象經過A（﹣1，﹣5），B（0，﹣4）兩點且與x軸交于點C，二次函數y＝ax2+bx+4的圖象經過點A、點C．

（1）求一次函數和二次函數的函數表達式；

（2）連接OA，求∠OAB的正弦值；

（3）若點D在x軸的正半軸上，是否存在以點D，C，B構成的三角形與△OAB相似？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x﹣4，y＝﹣2x2+7x+4；（2）；（3）存在，（6，0）或（20，0）

【解析】

（1）利用待定系數法求出一次函數的解析式，然后根據與x軸的交點y=0，求出C的坐標，然后根據A與C的坐標求出二次函數的解析式即可；

（2）過O作OH⊥BC，垂足為H，證明△BOC為等腰直角三角形，求出OH＝BC＝2，然后求出OA，即可求出∠OAB的正弦值；

（3）利用勾股定理求出AH，再求出AB＝，然后分情況求出D點的坐標即可.

解：（1）∵一次函數y＝kx+b的圖象經過A（﹣1，﹣5），B（0，﹣4）兩點，

∴﹣5＝﹣k+b，b＝﹣4，k＝1，

∴一次函數解析式為：y＝x﹣4，

∵一次函數y＝x﹣4與x軸交于點C，

∴y＝0時，x＝4，

∴C（4，0），

∵二次函數y＝ax2+bx+4的圖象經過點A（﹣1，﹣5）、點C（4，0），

∴，

解得a＝﹣2，b＝7，

∴二次函數的函數表達式為y＝﹣2x2+7x+4；

（2）過O作OH⊥BC，垂足為H，

∵C（4，0），B（0，﹣4），

∴OB＝OC＝4，即△BOC為等腰直角三角形，

∴BC＝＝＝4，

∴OH＝BC＝2，

由點O（0，0），A（﹣1，﹣5），得：OA＝，

在Rt△OAH中，sin∠OAB＝＝＝；

（3）存在，

由（2）可知，△OBC為等腰直角三角形，OH＝BH＝2，

在Rt△AOH中，根據勾股定理得：AH＝＝＝3，

∴AB＝AH﹣BH＝，

∴當點D在C點右側時，∠OBA＝∠DCB＝135°，

①當，即時，解得CD＝2，

∵C（4，0），即OC＝4，

∴OD＝OC+CD＝2+4＝6，

此時D坐標為（6，0）；

②當，即時，

解得CD＝16，

∵C（4，0），即OC＝4，∴OD＝OC+CD＝16+4＝20，

此時D坐標為（20，0），

綜上所述，若△BCD與△ABO相似，此時D坐標為（6，0）或（20，0）．