Question

如圖，已知正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，E是AC上的一點，過點A作AG⊥BE，垂足為G，AG交BD于點F．
①試說明OE=OF；
②若點E在AC的延長線上，AG⊥BE，交EB延長線于點G，AG的延長線交DB的延長線于點F，若其他條件不變，請作圖，結論OE=OF仍成立嗎？請說明你的理由．

Answer 1

①證明：在正方形ABCD中AO=BO，∠AOB=∠BOE，
又∵AG⊥BE，
∴∠GAE+∠BEA=90°，∠EBD+∠AEB=90°．
∴∠EBD=∠GAE．
∴△AOF≌△BOE．
∴OE=OF．

②OE=OF仍成立．
在正方形ABCD中AO=BO，∠AOB=∠BOE，
又∵AG⊥BE，
∴∠GAE+∠BEA=90°，∠EBD+∠AEB=90°．
∴∠EBD=∠GAE．
又∵∠AOF=∠BOE，
∴△AOF≌△BOE．
∴OE=OF．