Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為1的正方形OA₁B₁C的對角線A₁C和OB₁交于點M₁，以M₁A₁為對角線作第二個正方形A₂A₁B₂M₁，對角線A₁M₁和A₂B₂交于點M₂；以M₂A₁為對角線作第三個正方形A₃A₁B₃M₂，對角線A₁M₂和A₃B₃交于點M₃；…，依此類推，那么M₁的坐標(biāo)為______；這樣作的第n個正方形的對角線交點M_n的坐標(biāo)為______．

Answer 1

因為正方形的邊長為1，
則正方形四個頂點坐標(biāo)為O（0，0），C（0，1），B₁（1，1），A₁（1，0），
在正方形OA₁B₁C中，
∴OM₁=M₁A₁，∠OM₁A₁=90°，
設(shè)OM₁=M₁A₁=x，
由勾股定理得：x²+x²=1²，
解得：x=

2

2

，
同理可求出OA₂=A₂M₁=

1

2

，A₂M₂=

2

4

，A₂A₃=

1

4

，…，
根據(jù)正方形對角線性質(zhì)可得：M₁的坐標(biāo)為（1-

1

2

，

1

2

），
故答案為：（

1

2

，

1

2

）；
同理得M₂的坐標(biāo)為（1-

1

22

，

1

22

），
M₃的坐標(biāo)為（ 1-

1

23

，

1

23

），
…，
依此類推：M_n坐標(biāo)為（ 1-

1

2n

，

1

2n

）=(

2n-1

2n

，

1

2n

)，
故答案為：(1-

1

2n

，

1

2n

)或另一書寫形式(

2n-1

2n

，

1

2n

)．