Question

設E、F分別在正方形ABCD的邊BC，CD上滑動保持且∠EAF=45°，AP⊥EF于點P．
（1）求證：AP=AB；
（2）若AB=5，求△ECF的周長．

Answer 1

證明：（1）延長CB到F′，使BF′=DF，
在正方形ABCD中，AB=AD，∠ABC=∠D=90°，
∴∠ABF′=180°-∠ABC=90°=∠D，
∴△ABF′≌△ADF（SAS），
∴AF′=AF，∠1=∠2，
∴∠EAF′=∠1+∠3=∠2+∠3=90°-∠EAF=45°=∠EAF，
又∵EA=EA，
∴△EAF′≌△EAF（SAS），
∴EF′=EF，S_△AEF'=S_△AEF，
而

1

2

EF′•AB=

1

2

EF•AP，
∴AB=AP．

（2）C_△CEF=EC+CF+EF
=EC+CF+EF′
=EC+BE+CF+BF′
=BC+CF+DF
=BC+CD=2AB=10．