Question

如圖，已知在正方形ABCD外取一點E，連接AE、BE、DE．過點A作AE的垂線交DE于點P．若AE=AP=1，PB=

6

．下列結論：
①△APD≌△AEB﹔②點B到直線AE的距離為

3

﹔③EB⊥ED﹔④S_△APD+S_△APB=0.5+

2

．
其中正確結論的序號是（　　）

A．①③④

B．①②③

C．②③④

D．①②④

Answer 1

在正方形ABCD中，AB=AD，
∵AP⊥AE，
∴∠BAE+∠BAP=90°，
又∵∠DAP+∠BAP=∠BAD=90°，
∴∠BAE=∠DAP，
在△APD和△AEB中，

AE=AP ∠BAE=∠DAP AB=AD

，
∴△APD≌△AEB（SAS），故①正確；

∵AE=AP，AP⊥AE，
∴△AEP是等腰直角三角形，
∴∠AEP=∠APE=45°，
∴∠AEB=∠APD=180°-45°=135°，
∴∠BEP=135°-45°=90°，
∴EB⊥ED，故③正確；

∵AE=AP=1，
∴PE=

2

AE=

2

，
在Rt△PBE中，BE=

PB2-PE2

=

6 2- 2 2

=2，
∴S_△APD+S_△APB=S_△APE+S_△BPE，
=

1

2

×1×1+

1

2

×

2

×2，
=0.5+

2

，故④正確；

過點B作BF⊥AE交AE的延長線于F，
∵∠BEF=180°-135°=45°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴BF=

2

2

×2=

2

，
即點B到直線AE的距離為

2

，故②錯誤，
綜上所述，正確的結論有①③④．
故選A．