Question

12．小明在解決問題：已知a=$\frac{1}{2+\sqrt{3}}$，求2a²-8a+1的值，他是這樣分析與解的：
∵a=$\frac{1}{2+\sqrt{3}}$=$\frac{2-\sqrt{3}}{（2+\sqrt{3}）（2-\sqrt{3}）}$=2-$\sqrt{3}$
∴a-2=-$\sqrt{3}$
∴（a-2）²=3，a²-4a+4=3
∴a²-4a=-1
∴2a²-8a+1=2（a²-4a）+1=2×（-1）+1=-1
請你根據小明的分析過程，解決如下問題：
（1）化簡$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{99}}$
（2）若a=$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$求4a²-8a+1的值．

Answer 1

分析 （1）根據例題可得：對每個式子的分子和分母中同時乘以與分母中的式子相乘符合平方差公式的根式，去掉分母，然后合并同類二次根式即可求解；
（2）首先化簡a，然后把所求的式子化成4（a-1）²代入求解即可．

解答 解：（1）原式=（$\sqrt{2}$-1）+（$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$）+（$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$）+…+（$\sqrt{100}$-$\sqrt{99}$）=$\sqrt{100}$-1=10-1=9；
（2）a=$\sqrt{2}$+1，
則原式=4（a²-2a+1）-3=4（a-1）²，
當a=$\sqrt{2}$+1時，原式=4×（$\sqrt{2}$）²=8．

點評 本題考查了二次根式的化簡求值，正確讀懂例題，對根式進行化簡是關鍵．