Question

7．如圖：點P是∠AOB內一定點，點M、N分別在邊OA、OB上運運，若∠AOB=45°，OP=2$\sqrt{2}$，則△PMN的周長的最小值為4．

Answer 1

分析 作P關于OA，OB的對稱點C，D．連接OC，OD．則當M，N是CD與OA，OB的交點時，△PMN的周長最短，最短的值是CD的長．根據對稱的性質可以證得：△COD是等腰直角三角形，據此即可求解．

解答 解：作P關于OA，OB的對稱點C，D．連接OC，OD．則當M，N是CD與OA，OB的交點時，△PMN的周長最短，最短的值是CD的長．
∵PC關于OA對稱，
∴∠COP=2∠AOP，OC=OP
同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD
∴∠COD=∠COP+∠DOP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=90°，OC=OD．
∴△COD是等腰直角三角形．
則CD=$\sqrt{2}$OC=$\sqrt{2}$×2$\sqrt{2}$=4．
故答案是：4．

點評 本題考查了對稱的性質，正確作出圖形，理解△PMN周長最小的條件是解題的關鍵．