Question

2．已知AB∥CD，AM平分∠BAP．
（1）如圖1，CM平分∠PCD，若∠P=110°，直接寫出∠M=55度；
（2）如圖2，（P、M在直線AC異側）CM平分∠PCD，寫出∠P與∠M數量關系．并證明；
（3）如圖3，∠PCM=2∠MCD，若2∠M-∠P=10°，求∠PCD．

Answer 1

分析 （1）延長AP交CD于點Q，則可得到∠BAP=∠AQC，則∠APC=∠BAP+∠DCP=2（∠MAP+∠MCP），連接MP并延長到點R，則可得∠APR=∠MAP+∠AMP，∠CPR=∠MCP+∠CMP，可得到∠P和∠M的關系，從而求解；
（2）如圖2，過P作PQ∥AB于Q，MN∥AB于N，則AB∥PQ∥MN∥CD，根據平行線的性質得到∠APQ=180°-∠BAP，∠CPQ=180°-∠DCP，∠AMN=∠BAM，∠CMN=∠DCM，根據角平分線的定義得到∠BAP=2∠BAM，∠DCP=2∠DCM，等量代換即可得到結論；
（3）如圖3，過P作PQ∥AB于Q，MN∥AB于N，則AB∥PQ∥MN∥CD，設∠MCD=x，則∠PCM=2x，∠PCD=3x，設∠PAM=y，則∠MAB=y，則∠PAB=2y，根據平行線的性質得到∠QPA=∠PAB=2y，∠NMA=∠MAB=y，列方程即可得到結論．

解答 解：（1）如圖1，延長AP交CD于點Q，則可得到∠BAP=∠AQC，
則∠APC=∠BAP+∠DCP=2（∠MAP+∠MCP），
連接MP并延長到點R，則可得∠APR=∠MAP+∠AMP，∠CPR=∠MCP+∠CMP，
所以∠APC=∠M+∠MAP+∠MCP，
所以∠APC=∠M+$\frac{1}{2}$∠APC，
所以∠M=$\frac{1}{2}$∠APC=55°．
故答案為：55；
（2）如圖2，過P作PQ∥AB于Q，MN∥AB于N，
則AB∥PQ∥MN∥CD，
∴∠APQ=180°-∠BAP，∠CPQ=180°-∠DCP，∠AMN=∠BAM，∠CMN=∠DCM，
∵AM平分∠BAP，CM平分∠PCD，
∴∠BAP=2∠BAM，∠DCP=2∠DCM，
∴∠APC=∠APQ+∠CPQ=180°-∠BAP+180°-∠DCP=360°-2（∠BAM+∠DCM）=360°-2（∠BAM+∠DCM）=360°-2∠AMC；
（3）如圖3，過P作PQ∥AB于Q，MN∥AB于N，
則AB∥PQ∥MN∥CD，
設∠MCD=x，則∠PCM=2x，∠PCD=3x，設∠PAM=y，則∠MAB=y，則∠PAB=2y，
∵AB∥PQ，
∴∠QPA=∠PAB=2y，∠NMA=∠MAB=y，
∴∠QPA=∠CPQ+∠CPA=∠PCD+∠CPA=3x+∠CPA  ①，∠NMA=∠NMC+∠AMC=∠MCD+∠AMC=x+∠AMC  ②，
∵2∠AMC-∠APC=10°，2∠AMC=2（∠NMA-∠NMC）=2（y-x），∠APC=∠APQ-∠CPQ=2y-3x，
∴2（y-x）-（2y-3x）=10°，
∴x=10°，
∴∠PCD=3x=30°．

點評 本題主要考查外角的性質及角平分線的定義、平行線的性質，解題的關鍵是利用三角形的外角的性質找到∠P和∠M之間的關系．