Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑， ， 連接ED、BD，延長AE交BD的延長線于點M，過點D作⊙O的切線交AB的延長線于點C．

（1）若OA=CD=，求陰影部分的面積；
（2）求證：DE=DM．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖，連接OD，

∵CD是⊙O切線，

∴OD⊥CD，

∵OA=CD=，OA=OD，

∴OD=CD=，

∴△OCD為等腰直角三角形，

∴∠DOC=∠C=45°，

∴S陰影=S△OCD﹣S扇OBD=﹣=4﹣π；

（2）

證明：如圖，連接AD，

∵AB是⊙O直徑，

∴∠ADB=∠ADM=90°，

又∵，

∴ED=BD，∠MAD=∠BAD，

在△AMD和△ABD中，

，

∴△AMD≌△ABD，

∴DM=BD，

∴DE=DM．

【解析】（1）連接OD，根據已知和切線的性質證明△OCD為等腰直角三角形，得到∠DOC=45°，根據S陰影=S△OCD﹣S扇OBD計算即可；
（2）連接AD，根據弦、弧之間的關系證明DB=DE，證明△AMD≌△ABD，得到DM=BD，得到答案．
【考點精析】掌握切線的性質定理和扇形面積計算公式是解答本題的根本，需要知道切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑；在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形；扇形面積S=π（R2-r2）．