Question

【題目】已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2﹣4ax+1與x軸的正半軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，且OB=3OC，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)的點(diǎn)，連接BC，△PBC是以BC為斜邊的等腰直角三角形．

（1）求這個拋物線的表達(dá)式；
（2）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)Q在x軸上，若以Q、O、P為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)C、A、B為頂點(diǎn)的三角形相似，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=ax2﹣4ax+1，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，1）．

∵OB=3OC，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）．

∴9a﹣12a+1=0，

∴ ．

∴ ．

（2）

解：如圖，

過點(diǎn)P作PM⊥y軸，PN⊥x軸，垂足分別為點(diǎn)M、N．

∵∠MPC=90°﹣∠CPN，∠NPB=90°﹣∠CPN，

∴∠MPC=∠NPB．

在△PCM和△PBN中， ，

∴△PMC≌△PNB，

∴PM=PN．

設(shè)點(diǎn)P（a，a）．

∵PC2=PB2，

∴a2+（a﹣1）2=（a﹣3）2+a2．

解得a=2．

∴P（2，2）

（3）

解：∵該拋物線對稱軸為x=2，B（3，0），

∴A（1，0）．

∵P（2，2），A（1，0），B（3，0），C（0，1），

∴PO= ，AC= ，AB=2．

∵∠CAB=135°，∠POB=45°，

在Rt△BOC中，tan∠OBC= ，

∴∠OBC≠45°，∠OCB＜90°，

在Rt△OAC中，OC=OA，

∴∠OCA=45°，

∴∠ACB＜45°，

∴當(dāng)△OPQ與△ABC相似時，點(diǎn)Q只有在點(diǎn)O左側(cè)時．

（i）當(dāng) 時，∴ ，

∴OQ=4，

∴Q（﹣4，0）．

（ii）當(dāng) 時，∴ ，

∴OQ=2，

∴Q（﹣2，0）．

當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)A右側(cè)時，

綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣4，0）或（﹣2，0）．

【解析】（1）利用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論；（2）先判斷出△PMC≌△PNB，再用PC2=PB2 ， 建立方程求解即可；（3）先判斷出點(diǎn)Q只能在點(diǎn)O左側(cè)，再分兩種情況討論計算即可．
【考點(diǎn)精析】利用二次函數(shù)的概念和二次函數(shù)的圖象對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：一般式：y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c為常數(shù))，則稱y為x的二次函數(shù)；二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)．