Question

【題目】如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側面ABB1A1為菱形且 ，D，M分別為CC1和A1B的中點，A1D⊥CC1 ， AA1=A1D=2，BC=1．
（Ⅰ）證明：直線MD∥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角B﹣AC﹣A1的余弦值．

Answer 1

【答案】解：∵A1D⊥CC1 ， 且D為中點，AA1=A1D=2，∴ ， 又 BC=1，AB=BA1=2，∴CB⊥BA，CB⊥BA1 ，
又 BA∩BA1=B，∴CB⊥平面ABB1A1 ，
取AA1中點F，則BF⊥AA1 ， 即BC，BF，BB1兩兩互相垂直，
以B為原點，BB1 ， BF，BC分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系如圖所示，B1（2，0，0），C（0，0，1）， ， ，C1（2，0，1），D（1，0，1），

（I） ，設平面ABC的法向量為 =（x，y，z），
則 ，取 ，
∵ ，∴ ，
又MD平面ABC，∴直線MD∥平面ABC．
（II） 設平面ACA1的法向量為n=（x1 ， y1 ， z1）， ，
則 ，取 ，
又由（Ⅰ）知平面ABC的法向量為 ，
設二面角B﹣AC﹣A1為θ，
∴ ，
∴二面角B﹣AC﹣A1的余弦值為
【解析】由已知可得 ，CB⊥平面ABB1A1 ， 取AA1中點F可得BC，BF，BB1兩兩互相垂直 以B為原點，BB1 ， BF，BC分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，B1（2，0，0），C（0，0，1）， ， ，C1（2，0，1），D（1，0，1）， ，利用空間向量求解．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用直線與平面平行的判定的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．