Question

如圖，已知在△ABC中，AB=AC，BC比AB大3，，點G是△ABC的重心，AG的延長線交邊BC于點D.過點G的直線分別交邊AB于點P、交射線AC于點Q.
（1）求AG的長；
（2）當∠APQ=90º時，直線PG與邊BC相交于點M.求的值；
（3）當點Q在邊AC上時，設BP=，AQ=，求關于的函數解析式，并寫出它的定義域.[

Answer 1

(1)AG=8；（2）=；(3).

解析試題分析：（1）根據已知條件和重心的性質得出BD=DC=BC，AD⊥BC，再根據sinB=，求出AB、BC、AD的值，從而求出AG的長；
（2）根據∠GMD+∠MGD=90°和∠GMD+∠B=90°，得出∠MGD=∠B，再根據特殊角的三角函數值求出DM、CM=CD-DM的值，在△ABC中，根據AA求出△QCM∽△QGA，即可求出的值；
（3）過點B作BE∥AD，過點C作CF∥AD，分別交直線PQ于點E、F，則BE∥AD∥CF，得出，求出BE的值，同理可得出CF的值，最后根據BD=CD，求出EG=FG，即可得出CE+BE=2GD，從而得出求y關于x的函數解析式并得出它的定義域．
試題解析：
（1）在△ABC中，∵AB=AC，點G是△ABC的重心,

∴，AD⊥BC.
在Rt△ADB中，∵,∴.
∵, ∴AB=15，BC=18.
∴AD="12."
∵G是△ABC的重心，∴.
（2）在Rt△MDG,∵∠GMD+∠MGD=90°，
同理:在Rt△MPB中,∠GMD+∠B=90°,
∴∠MGD=∠B.
∴,
在Rt△MDG中,∵，
∴，∴
在△ABC中，∵AB=AC，AD⊥BC,∴.
∵,
又∵,
∴,
又∵,
∴△QCM∽△QGA.
∴.
（3）過點作,過點作,分別交直線于點E、F，則.

∵,∴,即,
∴
同理可得:,即,
∴.    
∵, ,∴.
∴,即.  
∴,.
考點：相似形綜合題．