Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．動點M，N從點C同時出發，均以每秒1cm的速度分別沿CA、CB向終點A，B移動，同時動點P從點B出發，以每秒2cm的速度沿BA向終點A移動，連接PM，PN，設移動時間為t（單位：秒，0＜t＜2.5）．

（1）當t為何值時，以A，P，M為頂點的三角形與△ABC相似？
（2）是否存在某一時刻t，使四邊形APNC的面積S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）當t=時，以A、P、M為頂點的三角形與△ABC相似
（2）存在，當t=時，四邊形APNC的面積S有最小值，其最小值是

解析解：如圖，

∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．
∴根據勾股定理，得=5cm．
（1）以A，P，M為頂點的三角形與△ABC相似，分兩種情況：
①當△AMP∽△ABC時，，即，
解得t=；
②當△APM∽△ABC時，，即，
解得t=0（不合題意，舍去）；
綜上所述，當t=時，以A、P、M為頂點的三角形與△ABC相似；
（2）存在某一時刻t，使四邊形APNC的面積S有最小值．理由如下：
假設存在某一時刻t，使四邊形APNC的面積S有最小值．
如圖，過點P作PH⊥BC于點H．則PH∥AC，
∴，即，
∴PH=t，
∴S=S_△ABC-S_△BPH，
=×3×4-×（3-t）•t，
=（t-）²+（0＜t＜2.5）．
∵＞0，
∴S有最小值．
當t=時，S_最小值=．
答：當t=時，四邊形APNC的面積S有最小值，其最小值是．