Question

【題目】【問題提出】

學習了三角形全等的判定方法（即“SSS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我們繼續對“兩個三角形滿足兩邊和其中一邊的對角對應相等”的情形進行研究．

【初步思考】

我們不妨將問題用符號語言表示為：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，對∠B進行分類，可分為“∠B是直角、鈍角、銳角”三種情況進行探究．

【深入探究】

第一種情況：當∠B是直角時，△ABC≌△DEF．

如圖①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根據　 　，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．

第二種情況：當∠B是鈍角時，△ABC≌△DEF．

如圖②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B，∠E都是鈍角，請你證明：△ABC≌△DEF（提示：過點C作CG⊥AB交AB的延長線于G，過點F作FH⊥DE交DE的延長線于H）．

第三種情況：當∠B是銳角時，△ABC和△DEF不一定全等．

在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B，∠E都是銳角，請你利用圖③，在圖③中用尺規作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．

Answer 1

【答案】（1）HL；（2）詳見解析；（3）△DEF和△ABC不全等，圖見解析.

【解析】試題分析：

（1）由題意可知，此時得到：Rt△ABC≌Rt△DEF的依據是“HL”；

（2）如圖，分別過點C作CG⊥AB交AB的延長線于點G，過點F作FH⊥DE交DE的延長線于H，然后先用“AAS”證△CBG≌△FEH，接著用“HL”證Rt△ACG≌Rt△DFH，最后用“AAS”證△ABC≌△DEF即可；

（3）在圖3中以點C為圓心，CA為半徑作弧交AB于點D，設點E和點B重合，點F和點C重合，則圖中的△ABC和△DEF滿足題目中的條件，但很明顯，此時兩個三角形并不全等.

試題解析：

（1）∵在△ABC和△DEF中：AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，

∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）.

即此時判定兩三角形全等的依據是：HL；

（2）如圖，過點C作CG⊥AB交AB的延長線于G，過點F作FH⊥DE交DE的延長線于H，

∵∠ABC=∠DEF，且∠ABC、∠DEF都是鈍角，

∴180°﹣∠ABC=180°﹣∠DEF，

即∠CBG=∠FEH，

在△CBG和△FEH中， ，

∴△CBG≌△FEH（AAS），

∴CG=FH，

在Rt△ACG和Rt△DFH中， ，

∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL），

∴∠A=∠D，

在△ABC和△DEF中， ，

∴△ABC≌△DEF（AAS）；

（3）如圖，△DEF和△ABC中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，滿足了題目中的條件，但很明顯，它們不全等.