Question

【題目】等邊三角形ABC和等腰三角形ABD按如圖所示的位置擺放，∠DAB=90°，AC與BD相交于點E，F為AD上一點，連接EF，CF，CF與BD交于點P，過點D作DG⊥AC于點G，過點B作BH⊥AC于點H. 已知∠ECF=45°.

（1）求證：△CDE≌△DCF；

（2）試判斷CD與EF之間的位置關系，并說明理由；

（3）求的值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）EF∥CD，理由見解析；（3）.

【解析】分析：（1）首先證明AC=AD，推出∠ADC=∠ACD，再根據∠ADB=∠ACF=45°，即可推出∠FCD=∠EDC，由此即可證明；（2）結論：EF∥CD．只要證明∠AFE=∠ADC即可；（3）設AB=BC=AC=AD=a，求出DG，BH即可解決問題；

本題解析：

(1)證明：∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC，

∵AB=AD,∠DAB=90°，

∴AD=AC,∠ADB=∠ACF=45°，

∴∠ADC=∠ACD，

∴∠FCD=∠EDC，

在△CDE和△DCF中，

，

∴△CDE≌△DCF.

(2)結論：EF∥CD.

理由：∵△CDE≌△DCF，∴DF=CE，∵AD=AC，∴AF=AE，∴∠AEF=∠AFE，

∵∠ADC=∠ACD,∠EAF+2∠AFE=180°,∠DAC+2∠ADC=180°，

∴∠AFE=∠ADC，∴EF∥CD.

(3)設AB=BC=AC=AD=a，

∵DG⊥AC，BH⊥AC，

在Rt△ADG中,∠DAG=∠DAB∠CAB=90°60°=30°，

∴DG=AD=a，

在Rt△ABH中,BH=ABsin60°=，

∴.